Possible no vol dir probable: la trampa mental que ens costa diners (1 de 2)
Del teorema del mico infinit a la teoria del cigne negre: com pensem allò que quasi mai passa
Possible no vol dir necessàriament probable
Comprem loteria perquè "algú l'ha de guanyar". Tenim por de pujar a un avió però no de pujar al cotxe cada dia, tot i que les xifres diguin exactament el contrari. Refusem una inversió perquè "podria anar malament", sense preguntar-nos quantes possibilitats reals hi ha que això passi. En tots aquests casos confonem dues paraules que el llenguatge quotidià tracta com a sinònimes però que no ho són gens: possible i probable.
Aquesta confusió és un biaix mental que ens porta a prendre decisions equivocades amb els diners, la salut i el temps. I per entendre-la bé val la pena passar per tres idees que, a primera vista, semblen allunyades: un mico escrivint a màquina durant un temps infinit, un ocell negre a Austràlia i la pregunta de quantes possibilitats calen perquè un fet deixi de merèixer la nostra atenció.
Possible vs. improbable
Que una cosa sigui possible vol dir, simplement, que la seva probabilitat no és zero. No hi ha cap llei física ni matemàtica que l'impedeixi. Que una cosa sigui probable, en canvi, és una altra qüestió: parla de la freqüència amb què, raonablement, esperem que passi.
El problema és que el cervell humà no gestiona bé els nombres molt petits. Distingim sense esforç entre "el 50%" i "el 10%", però ens resulta molt difícil distingir, a nivell intuïtiu, entre una probabilitat d'una entre un milió i una entre un bilió. Totes dues ens semblen, simplement, "molt improbables". I aquí és on comencem a prendre males decisions: tractem com si fossin equivalents fets amb probabilitats separades per desenes d'ordres de magnitud.
El teorema del mico infinit
L'exemple clàssic per posar xifres a aquesta intuïció és teorema del mico infinit, formulat pel matemàtic Émile Borel el 1913.
L'enunciat diu que si un mico prement tecles a l'atzar durant un temps infinit, la probabilitat que acabi escrivint qualsevol text finit concret (per exemple una obra completa de William Shakespeare, el Quixot o aquest mateix article) tendeix a 1 quan el nombre d'intents tendeix a infinit.
Matemàticament és cert i, de fet, la probabilitat que no ho faci mai, disposant d'un temps realment infinit, és zero. El problema és el salt que fem entre "matemàticament cert" i "rellevant a la pràctica". Amb un temps finit —fins i tot un temps tan llarg com l'edat de l'univers— la cosa canvia radicalment. S'han fet estimacions de la probabilitat que un mico escrigui només la primera frase de Hamlet: el resultat és una xifra amb milers de zeros després de la coma, tan petita que resulta pràcticament indistingible de zero encara que, tècnicament, no ho sigui.
La clau és la paraula infinit:
- Qualsevol seqüència finita de lletres té una probabilitat positiva d'aparèixer per atzar.
- Si es fan intents independents infinitament moltes vegades, un esdeveniment amb probabilitat positiva acabarà passant gairebé segur.
Per exemple, si el text objectiu és només la paraula "gat", un teclat aleatori la podria produir ocasionalment. Amb temps infinit, apareixeria no només una vegada, sinó infinites vegades.
Aquest resultat s'utilitza sovint com a metàfora per il·lustrar:
- La diferència entre "possible" i "probable".
- Com funcionen els processos aleatoris a molt llarg termini.
- El fet que un esdeveniment extremadament improbable pot esdevenir gairebé segur si es disposa d'infinites oportunitats.
És més un resultat teòric que no pas una afirmació pràctica sobre micos, màquines d'escriure o la generació de textos.
Aquí hi ha una confusió molt habitual entre probabilitat molt petita i probabilitat zero.
Si un esdeveniment té probabilitat 10-6 (és a dir, 1 entre 1.000.000), no és segur que no succeeixi. Només vol dir que és molt poc probable en un únic intent.
Per exemple:
- Si compres un bitllet de loteria amb una probabilitat d'1 entre 1.000.000 de guanyar, és perfectament possible que guanyis.
- De fet, algú acaba guanyant si es venen prou bitllets.
La diferència matemàtica és:
- Probabilitat 0: l'esdeveniment és impossible (en models discrets com una moneda o un dau).
- Probabilitat petita però positiva: l'esdeveniment és possible, encara que rar.
- Probabilitat 1: l'esdeveniment és gairebé segur, però en alguns contextos probabilístics sofisticats no equival estrictament a "absolutament garantit".
En el cas del mico infinit, si la probabilitat d'escriure una seqüència concreta en un bloc de longitud determinada és (p>0), aleshores la probabilitat que mai aparegui després de (n) intents és: (1-p)n. Quan n creix sense límit, limn ->∞(1-p)n = 0 i, per tant, la probabilitat que aparegui almenys una vegada tendeix a 1.
Per saber-ne més, teniu la segona parta d'aquest article: Per què un mico mai escriurà Hamlet
L'Experiment del 2003
Investigadors de la Universitat de Plymouth van deixar un teclat d'ordinador a la gàbia de 6 macacos de Sulawesi durant un mes.
El Resultat: Els micos no van escriure Shakespeare. Van produir cinc pàgines formades principalment per la lletra "S", van picar el teclat amb una pedra i, finalment, hi van defecar a sobre. Això demostra que els micos reals no són generadors d'atzar pur!
Per veure una aplicació divertida d'aquest concepte en la cultura popular, pots donar un cop d'ull al vídeo The infinite monkey theorem. Aquest vídeo mostra de manera humorística com un jugador de videojocs es compara amb el mico del teorema, demostrant que prement botons a l'atzar de manera molt tossuda, tard o d'hora els "inputs" es converteixen en una victòria.
La teoria del cigne negre
Fins aquí hem parlat d'esdeveniments rars però calculables: sabem quina és la probabilitat, per petita que sigui. El filòsof i assagista libanès Nassim Nicholas Taleb va posar nom a un tipus d'esdeveniment diferent: el cigne negre. Es tracta de fets sorprenents, de gran impacte, que a posteriori sembla que s'haurien pogut preveure, però que en el moment en què passen queden totalment fora del nostre marc de referència.
El nom prové d'un fet històric ben concret: fins que els exploradors europeus no van arribar a Austràlia, es donava per fet que tots els cignes eren blancs, perquè mai se n'havia vist cap altre color. La troballa d'un sol cigne negre va invalidar segles d'"evidència" acumulada. Taleb posa exemples com l'esclat de la Primera Guerra Mundial, els atemptats de l'11 de setembre de 2001, la crisi financera del 2008 o la pandèmia de la COVID.
El cigne negre no és, doncs, allò que és molt improbable dins d'un model que ja coneixem, com el mico infinit. És allò que ni tan sols formava part del model. La sorpresa no és de magnitud: és de categoria.
Aquesta diferència importa molt a l'hora de gestionar el risc. Preparar-nos per a un esdeveniment de probabilitat coneguda encara que sigui petita (com un terratrèmol en una zona sísmica) és una qüestió de gestió de recursos. Preparar-nos per a un cigne negre és, per definició, molt més difícil: no sabem ni per on ens pot arribar la sorpresa.
Conclusions de la teoria del cigne negre de Nassim Nicholas Taleb
Els "cignes negres" dominen la història: uns pocs esdeveniments extrems, rars i imprevisibles expliquen gran part del que passa al món (religions, guerres, tecnologies, mercats).
Tres atributs del cigne negre:
- És una raresa (fora de les expectatives, res al passat el fa previsible).
- Té un impacte extrem (conseqüències desproporcionades).
- Genera predictibilitat retrospectiva: un cop passa, inventem explicacions que el fan semblar lògic i "vist de venir".
- La nostra confiança en les prediccions és il·lusòria: els models estadístics i econòmics tradicionals fallen perquè subestimen la cua extrema de la distribució (es basen en una visió de "Mediocristán", no d'"Extremistán").
- El que no sabem és més important que el que sabem: la incertesa radical i la ignorància estructurada tenen més pes que el coneixement consolidat per entendre el futur.
- Cal construir robustesa i antifràgil: en lloc de pretendre predir cignes negres, hem de dissenyar sistemes, carreres i finances que resisteixin o fins i tot es beneficiïn de la incertesa i els xocs (diversificació, opcionalitat, evitar exposicions que puguin dur a la ruina).
- Humilitat epistèmica: hem de ser escèptics amb les grans prediccions, les narratives massa netes i l'excés de confiança dels "experts" en àrees dominades per cignes negres.
Quan un esdeveniment és pràcticament impossible?
Si "possible" inclou fins i tot allò infinitesimalment improbable, necessitem algun criteri pràctic per decidir a partir de quin punt deixem de preocupar-nos-en. Diferents disciplines han posat xifra a aquesta frontera.
En física de partícules, per exemple, no es parla de "descobriment" fins que un resultat assoleix el que s'anomena cinc sigmes (5σ): una probabilitat que la dada observada sigui fruit de l'atzar d'aproximadament tres entre deu milions. Per sota d'aquest llindar, els físics ho consideren només un indici; per sobre, es dona per confirmat. Amb tres sigmes ja se'n parla d'"evidència", però encara no de descobriment: la comunitat científica ha après, a base d'errors, que fins i tot resultats amb quatre o cinc sigmes en un sol experiment poden acabar sent falsos positius si no es repliquen.
En criptografia es maneja un llindar encara molt més estricte: es donen per "impossibles" a la pràctica els atacs que requeririen provar un nombre de combinacions superior al que qualsevol ordinador físicament possible podria arribar a calcular abans que s'acabi l'energia disponible a l'univers. En ambdós casos, la ciència no diu que la probabilitat sigui exactament zero (com feia el mico infinit amb temps infinit), sinó que és tan petita que, a efectes pràctics, tractar-la com a zero no comporta cap risc real.
El contrast amb la intuïció humana és important: la majoria de persones deixem de preocupar-nos per un risc molt abans d'arribar a aquestes xifres, o bé —paradoxalment— seguim temeroses de riscos que ja fa temps que han travessat la frontera de la irrellevància estadística.
Matemàticament, quan un esdeveniment es considera virtualment impossible?
En matemàtiques, un esdeveniment només és impossible si la seva probabilitat és exactament zero.
Tanmateix, en disciplines com la física, l'enginyeria o l'anàlisi de riscos, quan una probabilitat és extraordinàriament petita, per exemple, de l'ordre de 10-50 o fins i tot 10-100, sovint es considera virtualment impossible. No perquè no pugui passar, sinó perquè no hi ha prou temps, energia ni oportunitats a l'univers observable perquè aquest esdeveniment arribi a produir-se.
En la vida quotidiana, però, el llindar és molt menys exigent. Una probabilitat inferior a un milió (10-6) moltes persones la perceben com a "pràcticament impossible", encara que matemàticament continuï sent un esdeveniment perfectament possible.
Conclusions
La distinció entre possible i probable és una eina per prendre millors decisions. El teorema del mico infinit ens ensenya que "matemàticament possible" i "pràcticament rellevant" poden estar separats per un abisme. La teoria del cigne negre ens recorda que hi ha sorpreses que ni tan sols formen part del nostre mapa de riscos coneguts. I els llindars d'impossibilitat pràctica que fa servir la ciència ens donen una vara de mesurar per no deixar-nos enganyar ni per l'optimisme ni per la por.
La propera vegada que algú digui "és possible que passi" val la pena preguntar-se, abans de reaccionar: possible, sí. Però quant de probable?
Referències
Bibliografia
- Nassim Nicholas Taleb, El cigne negre: l'impacte d'allò altament improbable (2007)
- Nassim Nicholas Taleb, ¿Existe la suerte? Las trampas del azar (2001)
- Jorge Luis Borges, La biblioteca de Babel, dins Ficciones (1941)
Vídeos
- El Cisne Negro (Nassim Taleb) - Resumen Animado
- O Teorema do MACACO INFINITO Explicado
- Resumen El cisne negro [completo]
- Lo seguro, lo posible y lo imposible | MATEMÁTICAS FÁCILES ➡️ Estadística
- Cuando algo nos preocupa confundimos lo posible con lo probable
- Posible, Plausible o Probable: Cómo evitar la trampa del “todo es posible”
- How Long Would a Monkey Take to Type Shakespeare? [Infinite Monkey Theorem]
Podcasts
La probabilitat que un fet pugui succeir no implica que sigui probable. Distingir aquests dos conceptes és essencial per entendre el risc, l'atzar i la presa de decisions.