Per què no et tocarà mai la Grossa
Les matemàtiques de la sort
La sort existeix?
Cada any milions de persones compren dècims de loteria convençudes que, tard o d'hora, arribarà el seu moment. També hi ha qui evita passar sota una escala, qui té números favorits o qui interpreta certes coincidències com un senyal del destí.
Les matemàtiques tenen una manera molt diferent d'analitzar aquestes situacions. La teoria de la probabilitat estudia la possibilitat que es produeixi un esdeveniment: des de guanyar la Grossa fins a treure un sis amb un dau o ser colpejat per un llamp.
Entendre les probabilitats no serveix només per resoldre exercicis escolars. Ens ajuda a interpretar millor els riscos, prendre decisions més racionals i evitar alguns errors habituals del nostre cervell.
Introducció al càlcul de probabilitats
El càlcul de probabilitats és la branca de les matemàtiques que estudia la possibilitat que passi un determinat esdeveniment.
La probabilitat s'expressa amb un nombre entre 0 i 1:
- 0 = impossible.
- 1 = segur.
- 0,5 = 50% de possibilitats.
Per exemple:
- Probabilitat que surti un 7 en un dau de 6 cares: 0.
- Probabilitat que surti un nombre entre 1 i 6: 1.
- Probabilitat que surti cara en una moneda equilibrada: 0,5.
La fórmula bàsica
La probabilitat d'un esdeveniment és:
P = casos favorablescasos possibles
Exemple 1: Llançar un dau
Quina és la probabilitat d'obtenir un 3?
- Casos favorables: 1 (només el número 3)
- Casos possibles: 6
P = 16
Resultat:
P ≈ 0,1667 = 16,67%
Probabilitats complementàries
Si coneixem la probabilitat que passi una cosa, podem calcular la probabilitat que no passi.
P(no A) = 1 - P(A)
Exemple:
Probabilitat de treure un 6:
P(6)=16
Probabilitat de no treure un 6:
1-16=56
Probabilitats de diversos esdeveniments independents
Quan un esdeveniment no afecta l'altre, multipliquem les probabilitats.
Exemple 2: Dues monedes
Probabilitat que surtin dues cares:
P = 12 × 12 = 14 = 25%
Exemple 3: Dos daus
Probabilitat que surtin dos sisos:
P = 16×16 = 136 = 2,78%
Probabilitat que passi almenys una vegada
Aquest és un dels càlculs més útils.
Exemple:
Llancem una moneda 3 vegades.
Quina és la probabilitat que surti almenys una cara?
És més fàcil calcular el contrari:
"No surt cap cara" = surten tres creus.
P(3 creus)= 12×12×12 = 18
Ara fem el complement:
P(almenys una cara) = 1-18 = 78 = 87,5%
Probabilitat en una baralla de cartes
Suposem una baralla espanyola de 40 cartes.
Exemple:
Probabilitat de treure un as:
- Hi ha 4 asos.
- Hi ha 40 cartes.
P =440 = 110 = 10%
Mitjana esperada
La probabilitat permet predir què passarà a llarg termini.
Exemple:
Un joc té un 20% de possibilitats de premi.
Si hi juguen 1.000 persones:
1000×0,20 = 200
S'espera que aproximadament 200 persones guanyin.
Això no vol dir que en guanyin exactament 200, però serà un valor proper.
Exemple 4: La previsió del temps
Suposem que la previsió meteorològica indica un 50% de probabilitats de pluja dissabte i un 50% de probabilitats de pluja diumenge. Si considerem que els dos dies són independents, la probabilitat que plogui els dos dies és:
0,5 × 0,5 = 0,25
És a dir, un 25%.
Ara bé, moltes persones es pregunten quina és la probabilitat que plogui almenys un dels dos dies. Per calcular-la és més fàcil obtenir primer la probabilitat que no plogui cap dia:
0,5 × 0,5 = 0,25
Per tant, la probabilitat que plogui almenys un dels dos dies és:
1 - 0,25 = 0,75
És a dir, un 75%. Aquest exemple mostra la diferència entre que passin tots dos esdeveniments alhora (25%) i que en passi com a mínim un (75%), dos conceptes que sovint es confonen.
Un exemple real: contrasenyes
Suposem un PIN de 4 xifres.
Possibilitats:
104=10.000
Si un atacant prova 100 PINs per segon:
10.000/100 = 100 segons. És a dir, poc més d'un minut i mig.
Ara suposem una contrasenya de 8 caràcters amb lletres minúscules:
268 = 208.827.064.576
Més de 208 mil milions de combinacions. Això implica més de 66 anys de comput!
Aquí es veu clarament per què afegir longitud és tan important: el nombre de possibilitats creix de forma exponencial.
La Grossa: una possibilitat entre cent mil
En la Loteria de Nadal hi ha 100.000 números diferents, del 00000 al 99999. Per tant, si comprem un sol dècim, la probabilitat que ens toqui la Grossa és:
P = 1100.000
Dit d'una altra manera: tenim una possibilitat entre cent mil.
Això no vol dir que sigui impossible. Vol dir que és extraordinàriament improbable.
El problema és que el cervell humà no està gaire preparat per entendre xifres tan petites. Una possibilitat entre cent mil ens sembla abstracta. En canvi, veure per televisió una administració plena de gent celebrant el premi ens fa pensar que potser no és tan difícil.
Però aquella imatge només ens mostra els guanyadors. No ens mostra els milions de persones que no han guanyat res.
Que algú guanyi no vol dir que tu guanyis
Aquí hi ha una confusió molt habitual.
La probabilitat que algú guanyi la Grossa és molt alta, perquè hi ha molts dècims venuts.
Però la probabilitat que tu tinguis exactament el número premiat continua sent molt baixa.
Aquest és un dels punts més importants de la probabilitat: no és el mateix mirar un esdeveniment des del punt de vista de tota la població que mirar-lo des del punt de vista d'una sola persona.
Comparar probabilitats ajuda a entendre-les
Una bona manera d'entendre les probabilitats petites és comparar-les amb altres esdeveniments.
| Esdeveniment | Probabilitat aproximada |
|---|---|
| Treure cara en llançar una moneda | 1 entre 2 |
| Treure un 6 amb un dau | 1 entre 6 |
| Guanyar la Grossa amb un dècim | 1 entre 100.000 |
| Guanyar el premi màxim de l'Euromillones | 1 entre 139.838.160 |
| Ser colpejat per un llamp al llarg de la vida | aproximadament 1 entre 15.300 |
Aquestes comparacions s'han d'interpretar amb prudència, perquè alguns riscos depenen del país, dels hàbits i de les circumstàncies personals. Però serveixen per entendre la magnitud de cada xifra.
La fal·làcia del jugador
Un altre error molt habitual és pensar que l'atzar té memòria.
Si llancem una moneda cinc vegades i surt cara cinc vegades seguides, molta gent pensa que ara "toca" creu.
Però la moneda no recorda què ha passat abans. En el sisè llançament, la probabilitat continua sent:
P(cara) = 50\%
Això també passa amb la loteria. Que un número no hagi sortit mai no vol dir que tingui més possibilitats de sortir. I que un número ja hagi sortit abans no vol dir que ara sigui menys probable.
Cada sorteig és independent.
Els números bonics i els números lletjos
Moltes persones prefereixen números que tenen una data, una simetria o una aparença especial. D'altres rebutgen números que semblen "lletjos", com ara 00013 o 88888.
Matemàticament, però, tots els números tenen exactament la mateixa probabilitat de sortir.
El número 00000 té les mateixes opcions que el 12345, el 77777 o el número del nostre aniversari.
La diferència és psicològica, no matemàtica.
Quan una probabilitat petita deixa de ser petita. La Llei dels Nombres Grans
Aquesta llei diu que si repeteixes un experiment aleatori un nombre molt elevat de vegades, la freqüència de l'esdeveniment s'acostarà cada cop més a la seva probabilitat teòrica.
És la base de per què els casinos sempre guanyen diners. A curt termini (un jugador individual en una nit), qualsevol pot guanyar una fortuna per sort.
Però a llarg termini (milers de jugadors fent milions de jugades al llarg de l'any), la mitjana estadística s'imposa de manera implacable a favor de la casa. La banca sempre guanya !
La Llei dels Nombres Grans i les assegurances
La Llei dels Nombres Grans és el pilar fonamental sobre el qual se sosté tot el negoci de les assegurances. Sense aquesta llei matemàtica, assegurar un cotxe, una casa o la salut seria pura ruleta russa per a les companyies.
Mentre que per a un casino la llei serveix per assegurar-se que els jocs d'atzar donin beneficis viables a llarg termini, per a una asseguradora serveix per transformar la incertesa individual en certesa col·lectiva.
Així és com funciona exactament:
El secret de l'assegurança: "mutualització" del risc
Si intentem predir si tu tindràs un accident de cotxe aquest any, la probabilitat és una incertesa absoluta. Pots conduir perfectament i tenir mala sort, o cometre una imprudència. Per a un sol individu, el risc és impredictible.
Ara bé, què passa si l'asseguradora té 1 milió de clients? Aquí és on entra la Llei dels Nombres Grans:
- A gran escala, l'atzar es neutralitza: La companyia no sap qui tindrà un accident, però sap amb una precisió gairebé mil·limètrica quants dels seus clients en tindran un de mitjana aquest any (per exemple, un 2%).
- Càlcul de la prima: Com que saben quants accidents hauran de pagar i quant costarà aproximadament cada reparació, només han de dividir aquest cost total entre el milió de clients, afegir-hi el seu marge de benefici i d'aquí surt el preu de la teva pòlissa (la prima).
En resum: els clients que no tenen cap sinistre aquell any (la gran majoria) estan finançant els costos dels pocs que sí que en tenen. La Llei dels Nombres Grans permet a l'asseguradora preveure els fons que necessitarà per cobrir els deutes sense por a fer fallida.
Per què és tan important el volum de clients?
Si una nova companyia d'assegurances comencés només amb 10 clients, un sol accident greu podria arruïnar-la, perquè la mostra és massa petita i la variabilitat és enorme (la mitjana teòrica no s'aplica bé en nombres petits).
Quan la companyia creix i arriba a centenars de milers de clients, la freqüència real dels accidents s'acosta de manera gairebé exacta a la probabilitat estadística calculada pels seus actuaris (els matemàtics i estadístics que calculen aquests riscos).
La paradoxa dels aniversaris
Un exemple molt sorprenent és el problema dels aniversaris.
Quantes persones cal reunir en una sala perquè hi hagi més d'un 50% de probabilitats que dues facin anys el mateix dia?
La majoria de gent pensa que en calen moltes. Potser 100 o 150.
La resposta és molt més baixa: només 23 persones.
Aquest resultat sembla estrany perquè el nostre cervell imagina una persona concreta i pregunta: "Quina probabilitat hi ha que algú faci anys el mateix dia que aquesta persona?"
Però el problema real és diferent. Es tracta de comparar totes les parelles possibles dins del grup. I amb 23 persones ja hi ha moltes combinacions de parelles.
Per què ens costa tant entendre l'atzar?
El nostre cervell és molt bo detectant patrons. Aquesta capacitat ens ha ajudat a sobreviure, però també ens fa veure regularitats on només hi ha casualitat.
Quan surt dues vegades el mateix número, pensem que hi ha un senyal. Quan una persona guanya la loteria després d'haver somiat un número, sembla una història extraordinària. Però entre milions de persones, és normal que passin coincidències sorprenents.
La probabilitat ens ajuda a posar aquestes coincidències en context.
Conclusió
Per això són tan útils. Ens permeten distingir entre allò que és probable, allò que és improbable i allò que simplement ens sembla important perquè ens impressiona.
Potser algun dia et tocarà la Grossa. Però les matemàtiques ens recorden que no convé fer plans comptant-hi.
Referències
- La probabilitat de guanyar la Grossa segons RTVE
- Odds of Becoming a Lightning Victim - National Weather Service
- Odds of Winning EuroMillions
- Birthday problem - Wikipedia
- Calculadora de probabilidad
- ¿Qué es probabilidad?
- Teoría de la Probabilidad
- Probability and Statistics
Bibliografia
Videos
El càlcul de probabilitats permet quantificar les possibilitats que es produeixi un esdeveniment. Jocs d'atzar com els daus, les rifes o les cartes són exemples clàssics utilitzats per introduir conceptes fonamentals com la probabilitat simple, els esdeveniments independents i les probabilitats compostes.