Euler: més de 800 publicacions… malgrat la ceguesa
La història del geni més prolífic i resilient de la història
Introducció
Hi ha matemàtics importants, i després hi ha figures com Leonhard Euler. La seva obra és tan extensa que molts historiadors de la ciència el consideren un dels matemàtics més prolífics de tots els temps.
Euler va escriure centenars d'articles, llibres i cartes científiques. Va treballar en camps tan diversos com la teoria de nombres, la geometria, el càlcul, la física, l'astronomia, la navegació, la mecànica i fins i tot la música. Però, sobretot, va ajudar a construir bona part del llenguatge matemàtic modern.
Una de les seves expressions més famoses és coneguda com la fórmula més elegant del món:
Aquesta petita equació reuneix cinc elements fonamentals de les matemàtiques: el nombre e, el nombre imaginari i, el nombre pi, l'1 i el 0. En una sola línia connecta l'àlgebra, la geometria, l'anàlisi matemàtica i els nombres complexos.
Un jove talent a Basilea
Euler va néixer l'any 1707 a Basilea, a Suïssa. El seu pare volia que seguís estudis religiosos, però el jove Leonhard va mostrar aviat una habilitat excepcional per a les matemàtiques.
La seva família tenia relació amb Johann Bernoulli, un dels grans matemàtics del moment. Bernoulli va reconèixer el talent d'Euler i va convèncer el seu pare perquè li permetés dedicar-se a les matemàtiques.
Aquella decisió va ser decisiva per a la història de la ciència.
La fórmula més elegant del món
La identitat d'Euler és una de les fórmules més admirades de tota la matemàtica:
El seu encant prové del fet que relaciona conceptes aparentment molt diferents:
- 0, el no-res.
- 1, la unitat.
- π, el nombre associat als cercles.
- e, el nombre del creixement exponencial.
- i, la unitat imaginària.
A primera vista sembla impossible que tots aquests elements puguin quedar units d'una manera tan simple. Per això molts matemàtics l'han comparat amb una obra d'art.
El físic Richard Feynman la va descriure com una de les joies més extraordinàries de les matemàtiques.
Aplicació pràctica de la identitat d'Euler
La identitat d'Euler pot semblar una curiositat "filosòfica", però en realitat és una peça central de moltes tecnologies modernes. El secret és que aquesta fórmula és una conseqüència de la relació entre exponencials i nombres complexos, una eina matemàtica extraordinàriament potent.
Electricitat i corrent altern
Una de les aplicacions més importants és en l'anàlisi del corrent altern.
Quan treballem amb:
- xarxes elèctriques
- motors
- transformadors
- telecomunicacions
els senyals són ones sinusoidals. Euler va demostrar que aquestes ones es poden representar molt més fàcilment amb exponencials complexes:
Això simplifica enormement els càlculs elèctrics.
Sense aquesta formulació:
- el disseny de xarxes elèctriques seria molt més complicat
- molts sistemes de telecomunicacions moderns serien impracticables
Telecomunicacions i ràdio
Les ones de ràdio, Wi-Fi, Bluetooth o telefonia mòbil utilitzen senyals oscil·latoris.
Els enginyers tracten aquests senyals amb eines basades directament en la fórmula d'Euler:
- transformades de Fourier
- modulacions
- processament digital del senyal
Això permet:
- transmetre veu
- comprimir música
- enviar vídeo
- fer streaming
- utilitzar fibra òptica
Processament d'imatge i àudio
Quan un ordinador comprimeix una imatge JPEG o un arxiu MP3, hi ha matemàtiques derivades d'Euler treballant al darrere.
Per exemple:
- compressió d'àudio
- eliminació de soroll
- filtres digitals
- reconeixement de veu
fan servir descomposicions en freqüències basades en exponencials complexes.
Física quàntica
La mecànica quàntica utilitza constantment funcions complexes del tipus:
Aquestes expressions descriuen:
- electrons
- fotons
- ones de probabilitat
- comportament atòmic
La física moderna seria pràcticament impossible sense aquestes eines matemàtiques.
GPS i navegació
Els sistemes GPS i molts algoritmes de navegació utilitzen:
- anàlisi de senyals
- filtres matemàtics
- tractament de freqüències
I bona part d'això deriva de la representació d'ones amb la fórmula d'Euler.
Informàtica gràfica i videojocs
Els nombres complexos i les rotacions basades en Euler s'utilitzen en:
- gràfics 2D i 3D
- animacions
- simuladors
- videojocs
- motors físics
Permeten representar rotacions i moviments d'una manera elegant i eficient.
Una eina per simplificar el món
El més impressionant és que Euler va descobrir una manera de transformar problemes molt complicats sobre:
- ones
- rotacions
- oscil·lacions
- vibracions
en càlculs algebraics molt més simples.
Per això la seva fórmula no és només "bonica". És també una de les eines matemàtiques més útils de la història.
El problema de Basilea
Un dels grans èxits d'Euler va ser la resolució del conegut problema de Basilea. El repte consistia a trobar el valor exacte d'aquesta suma infinita:
Els millors matemàtics de l'època sabien que la suma donava un número proper a 1,64, però ningú podia trobar el valor exacte. Euler va arribar i va demostrar que la solució era:
Que hi aparegués el número π (estretament lligat als cercles) en una suma de números de graella va deixar tothom bocabadat. Va ser el seu passaport a la immortalitat científica.
Una obra immensa
Euler va ser un autor extraordinàriament prolífic. Va escriure tant que, després de la seva mort, l'Acadèmia de Sant Petersburg va trigar gairebé 50 anys més a acabar de publicar tots els articles que havia deixat escrits en calaixos
Va fer aportacions importants en camps molt diversos:
- Teoria de nombres.
- Càlcul diferencial i integral.
- Geometria.
- Mecànica.
- Astronomia.
- Òptica.
- Hidrodinàmica.
- Cartografia.
- Música matemàtica.
- Teoria de grafs.
Moltes fórmules, constants i conceptes porten encara avui el seu nom. La seva influència és tan gran que és difícil estudiar matemàtiques avançades sense trobar-se amb Euler una vegada i una altra.
Sí. Les estimacions habituals sobre Leonhard Euler són realment impressionants.
Quantitat aproximada de publicacions
Euler va produir aproximadament:
- entre 800 i 900 treballs científics
- més de 500 llibres i memòries llargues
- milers de pàgines de correspondència científica
La seva obra completa moderna, coneguda com Opera Omnia, ocupa més de:
- 70 volums
- uns 30.000 pàgines
Ritme de producció
Els historiadors calculen que:
Euler publicava de mitjana prop de 800 pàgines matemàtiques per any durant bona part de la seva vida.
I això encara és més sorprenent si tenim en compte que:
- va treballar sense ordinadors
- moltes operacions es feien a mà
- va passar anys gairebé cec
Publicacions després de morir
Una curiositat fascinant és que:
després de la seva mort encara es van continuar publicant treballs seus durant més de 30 anys.
Tenia tants manuscrits preparats que les acadèmies científiques van tardar dècades a editar-los tots.
Comparació amb altres científics
Per posar-ho en context:
- Isaac Newton va publicar relativament poc.
- Carl Friedrich Gauss era molt perfeccionista i sovint no publicava idees incompletes.
- Euler, en canvi, tenia una productivitat gairebé industrial.
Molts historiadors el consideren: el matemàtic més prolífic de tota la història.
Una dada espectacular
Sovint es repeteix aquesta comparació:
si llegíssim un treball d'Euler cada dia, trigaríem diverses dècades a acabar tota la seva obra.
Això ajuda a entendre la magnitud del seu llegat científic.
L'Opera Omnia de Leonhard Euler: Una odissea de 111 anys
L'Opera Omnia de Leonhard Euler és una de les fites més monumentals de la història de l'edició científica. Es tracta del recull definitiu de tots els llibres, articles, notes i cartes (unes 3000) escrits pel matemàtic suís.
Una investigació a fons sobre aquest projecte gegantí revela dades absolutament sorprenents.
Història d'una odissea de més de 100 anys
Tot i que Euler va morir el 1783, la immensa quantitat de manuscrits que va deixar escrits va col·lapsar les imprentes de l'època. Durant el segle XIX hi va haver diversos intents fallits de recopilar la seva obra (com el de la seva família o l'Acadèmia de Sant Petersburg), però el cost econòmic i el volum de feina eren inassumibles.
- El tret de sortida (1907): Coincidint amb el 200 aniversari del naixement d'Euler, la Societat Suïssa de Ciències Naturals va fundar la Comissió Euler (Euler-Kommission) amb l'objectiu de publicar tota la seva obra.
- El primer volum (1911): Es va publicar el primer llibre (la seva famosa Introducció a l'Àlgebra).
- La culminació (2022): El projecte imprès, gestionat durant dècades per l'editorial Birkhäuser, es va donar oficialment per completat l'octubre de 2022 a Basilea, després de 111 anys de feina ininterrompuda, superant dues Guerres Mundials i crisis econòmiques globals.
L'Índex Eneström: El mapa del tresor
Abans de començar a publicar l'Opera Omnia, es necessitava un catàleg per saber exactament què havia inscrit Euler. El matemàtic suec Gustav Eneström va dedicar anys a registrar cada publicació individual.
Aquest catàleg, publicat entre 1910 i 1913, és conegut com l'Índex Eneström. Va assignar a cada obra d'Euler un número codificat des de l'E1 fins a l'E866. Avui dia, qualsevol historiador de la ciència es refereix a les obres d'Euler pel seu número d'Eneström (per exemple, la Identitat d'Euler prové del document E123). Des de llavors, només s'ha descobert un sol text d'Euler que hagués escapat a aquest índex: un article anònim sobre la gravetat.
Estructura de l'Opera Omnia
L'obra completa consta de 81 volums dividits en quatre grans sèries estructurals. Els textos es mantenen en els seus idiomes originals (majoritàriament llatí, francès i alemany) i estan acompanyats de comentaris fets per grans matemàtics moderns.
| Sèrie | Nom | Contingut | Volums |
|---|---|---|---|
| Sèrie I | Opera Mathematica | Anàlisi matemàtica, teoria de nombres, geometria, sèries infinites. | 29 volums |
| Sèrie II | Opera Mechanica et Astronomica | Mecànica analítica, mecànica de fluids, òptica, astronomia, òrbites de planetes. | 31 volums |
| Sèrie III | Opera Physica, Miscellanea | Física, balística, enginyeria naval i textos de divulgació (com les Cartes a una Princesa d'Alemanya). | 12 volums |
| Sèrie IV A | Commercium Epistolicum | Tota la seva correspondència científica (més de 3.000 cartes intercanviades amb Goldbach, els Bernoulli, d'Alembert o Frederic el Gran). | 9 volums |
(Nota: També s'està treballant en una Sèrie IV B per publicar els seus manuscrits i quaderns de notes originals).
El salt a l'era digital: L'accés obert
A causa del cost i de la raresa de l'Opera Omnia (només disponible en grans biblioteques de recerca universitària), l'any 2022 la Societat Bernoulli-Euler i la Universitat de Basilea van llançar la plataforma digital OBE (Opera-Bernoulli-Euler). Aquesta base de dades ofereix accés lliure i gratuït a internet als volums digitalitzats de l'obra, enllaçats directament amb els números de l'Índex Eneström.
Paral·lelament, l'Euler Archive (impulsat de manera independent per acadèmics dels EUA des de 2003) s'ha convertit en el lloc web de referència on es poden trobar traduccions a idiomes moderns (especialment a l'anglès) d'un gran percentatge dels articles indexats.
Sabies que...? (Curiositats de l'Opera Omnia)
- El secret de les golfes: El 1844, el besnét d'Euler va trobar a les golfes de casa seva una caixa amb 61 manuscrits inèdits d'Euler que s'havien donat per perduts. Es van publicar el 1862 sota el títol Opera postuma.
- El pes de la ciència: Una col·lecció completa dels volums físics de l'Opera Omnia ocupa prop de 4 metres lineals de prestatgeria i pesa més de 150 quilos.
- Més enllà de la física: Tot i ser cec, Euler va escriure tractats de música matemàtica, de la construcció de vaixells i de la teoria d'assegurances de vida i pensions, tot inclòs a la Sèrie III.
Els ponts de Königsberg
Euler també és recordat pel famós problema dels ponts de Königsberg. La ciutat tenia set ponts que connectaven diferents zones separades pel riu. La pregunta era senzilla:
Es pot fer un recorregut que passi una sola vegada per cada pont?
Euler va demostrar que no era possible. Però el més important no va ser només la resposta, sinó la manera de plantejar el problema. Va reduir la ciutat a un esquema de punts i connexions.
Amb això va posar les bases de la teoria de grafs, una branca de les matemàtiques que avui és essencial en xarxes informàtiques, logística, navegadors GPS, xarxes socials i intel·ligència artificial.
Euler i la ceguesa
Una de les històries més increïbles d'Euler és la seva resiliència. A causa del sobreesforç i d'unes febres, va perdre la visió de l'ull dret l'any 1738. Però el pitjor va arribar el 1766, quan una cataracta el va deixar completament cec de l'altre ull.
Què va fer Euler? Va dir: "Ara tindré menys distraccions".
Gràcies a la seva memòria fotogràfica i a la seva capacitat de càlcul mental (podia recitar l'Eneida de Virgili de memòria de dalt a baix), va continuar produint ciència. La seva memòria era llegendària. Podia retenir llargues taules numèriques, fórmules i desenvolupaments matemàtics sense necessitat de consultar apunts.
Dictava les fórmules als seus fills i secretaris. De fet, va publicar més de la meitat de la seva obra total estant completament cec.
La notació que encara fem servir
Euler no només va descobrir resultats matemàtics. També va ajudar a fixar una part important de la notació que encara utilitzem avui.
Entre altres coses, va popularitzar:
- La notació f(x) per representar funcions.
- L'ús de e per al nombre exponencial.
- L'ús de π en el context modern.
- Diverses notacions trigonomètriques.
- La manera moderna d'escriure moltes sèries i sumatoris.
Això pot semblar un detall menor, però la notació és essencial en matemàtiques. Una bona notació permet pensar millor, escriure millor i comunicar idees complexes amb més claredat.
Curiositats sobre Euler
- Va treballar a l'Acadèmia de Ciències de Sant Petersburg i també a l'Acadèmia de Berlín.
- Va tenir tretze fills, tot i que no tots van arribar a l'edat adulta.
- Va continuar publicant després de mort, perquè havia deixat una gran quantitat de manuscrits pendents.
- El seu cognom se sol pronunciar aproximadament "Òiler".
- La seva obra és tan extensa que encara avui es continua estudiant i editant.
Una mort gairebé llegendària
Euler va morir l'any 1783 a Sant Petersburg. Segons algunes cròniques, poc abans de morir estava parlant de qüestions astronòmiques i jugant amb un dels seus nets.
Una frase sovint associada a la seva mort diu:
"Va deixar de calcular i de viure."
Potser la frase té un punt de llegenda, però resumeix molt bé la imatge que ens ha arribat d'Euler: un home que va viure pensant, calculant i explorant les estructures profundes de les matemàtiques.
Conclusió
La seva famosa identitat continua fascinant perquè mostra que les matemàtiques no són només una eina de càlcul. També poden tenir bellesa, sorpresa i una elegància gairebé artística.
"Llegiu Euler, llegiu Euler, ell és el mestre de tots nosaltres." Pierre-Simon Laplace
Recursos i enllaços
Referències web
- MacTutor - Leonhard Euler
- Encyclopaedia Britannica - Leonhard Euler
- Euler Archive
- Stanford Encyclopedia of Philosophy - Euler
Vídeos
- 3Blue1Brown - Euler's formula with introductory group theory
- Numberphile - Euler's identity
- Khan Academy - Euler's formula
- ¿Por qué LEONHARD EULER es mi matemático favorito?
- ¿Qué es el Número de Euler? Y la ecuación más hermosa del mundo
Bibliografia
- Dunham, William. Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America.
- Derbyshire, John. Prime Obsession. Joseph Henry Press.
- Boyer, Carl B. A History of Mathematics. Wiley.
- Introductio in analysin Infinitorum
Podcast
Leonhard Euler va unir el càlcul, la geometria i l’infinit en algunes de les fórmules més belles de la història.