El problema que va resistir més de 350 anys: el Teorema de Fermat
Una equació molt senzilla, una nota escrita al marge i una demostració extraordinàriament complexa
Introducció
Per explicar El Darrer teorema de Fermat hem de començar recordant el teorema de Pitàgores: a2+b2=c2 . Aquesta equació té moltes solucions enteres. Per exemple :32+42=52. Però què passa si substituïm el quadrat per un cub? a3+b3=c3.
O bé, en general:
Fermat va afirmar que, quan n>2, l'equació no té cap solució formada per nombres enters positius.
1. La famosa nota escrita al marge
Explicaríem que, cap al 1637, Pierre de Fermat va escriure al marge d'un exemplar de l'Arithmetica de Diofant que havia trobat una demostració meravellosa, però que el marge era massa estret per contenir-la.
És impossible que un cub sigui la suma de dos cubs, que una potència quarta sigui la suma de dues potències quartes i, en general, que qualsevol nombre que sigui una potència superior a dos sigui la suma de dues potències del mateix valor. He descobert una demostració veritablement meravellosa d'aquesta proposició, però aquest marge és massa estret perquè hi càpiga.
Aquesta afirmació és l'origen del misteri. Actualment, la majoria d'historiadors de les matemàtiques consideren improbable que Fermat disposés d'una demostració general correcta.
2. Conjectura o teorema?
Durant segles va ser una conjectura perquè ningú no n'havia presentat una demostració completa.
Després de la demostració d'Andrew Wiles, va passar a ser pròpiament un teorema:
Per a qualsevol nombre enter n>2, no existeixen nombres enters positius a, b i c que compleixin: an + bn = cn
3. Els primers casos demostrats
Seqüència històrica del procès de la demostració:
- Fermat va demostrar el cas n=4 mitjançant el descens infinit.
- Euler va treballar en el cas n=3.
- Sophie Germain va desenvolupar un mètode aplicable a molts nombres primers.
- Kummer va demostrar el teorema per a una extensa família d'exponents mitjançant els nombres ideals.
Aquests avenços resolien casos particulars, però no tots els exponents possibles.
4. Una connexió completament inesperada
A mitjan segle XX va aparèixer la conjectura de Taniyama-Shimura, actualment coneguda com a teorema de la modularitat.
Aquesta conjectura relacionava dos objectes matemàtics aparentment molt diferents:
- les corbes el·líptiques
- les formes modulars
Són com dues maneres molt diferents de descriure estructures numèriques.
Era com descobrir que dues llengües matemàtiques completament diferents explicaven, en realitat, la mateixa història.
5. La corba de Frey
El matemàtic Gerhard Frey va observar que, si existís una solució de l'equació de Fermat, es podria construir a partir seu una corba el·líptica extraordinàriament estranya:
y2 = x(x-an)(x+bn)
Aquesta construcció permetia convertir una hipotètica solució de Fermat en un altre objecte matemàtic.
La idea essencial era:
- Suposem que existeix una solució de Fermat.
- Amb aquesta solució construïm una corba de Frey.
- Aquesta corba hauria de tenir unes propietats incompatibles entre si.
6. La peça aportada per Kenneth Ribet
El 1986, Kenneth Ribet va demostrar que, si existís una solució de Fermat, la corba de Frey associada no podria ser modular.
Per tant:
Si totes les corbes el·líptiques semiestables fossin modulars, l'últim teorema de Fermat quedaria automàticament demostrat.
Aquest va ser el pont que va transformar el problema. Wiles ja no havia d'atacar directament l'equació de Fermat: havia de demostrar una part de la conjectura de modularitat.
7. Els set anys de treball d'Andrew Wiles
Andrew Wiles havia conegut el problema quan era un nen. El 1986 va comprendre que els treballs de Frey i Ribet obrien una possible via per resoldre'l.
Durant aproximadament set anys hi va treballar gairebé en secret. El juny de 1993 va anunciar la demostració en una sèrie de conferències a Cambridge.
Però, durant la revisió, es va descobrir una escletxa en una part essencial de l'argument.
8. L'error i la reparació
Wiles va intentar corregir l'error durant mesos. Finalment, el setembre de 1994, mentre revisava una idea anterior, va trobar la manera de combinar dos mètodes que per separat no funcionaven.
Amb la col·laboració de Richard Taylor va completar la reparació. La demostració definitiva es va publicar el 1995 en dos articles als Annals of Mathematics. L'article principal de Wiles ocupa més de cent pàgines. Article original d'Andrew Wiles
9. Com es va demostrar, en poques paraules?
El nucli lògic es pot resumir així:
- Suposem que l'equació de Fermat té una solució.
- Aquesta solució permet construir una corba de Frey.
- Ribet havia demostrat que aquesta corba no podria ser modular.
- Wiles i Taylor van demostrar que totes les corbes el·líptiques semiestables són modulars.
- La corba de Frey hauria de ser modular i no modular al mateix temps.
- Això és una contradicció.
- Per tant, la solució inicial no pot existir.
Aquesta és una demostració per reducció a l'absurd.
10. Fermat podia tenir aquesta demostració?
Pràcticament segur que no.
La demostració moderna utilitza conceptes que no existien al segle XVII: corbes el·líptiques, formes modulars, representacions de Galois i àlgebres de Hecke.
Fermat probablement havia trobat una demostració d'algun cas particular ,possiblement el cas n=4, i va creure erròniament que podia generalitzar-la.
Conclusió
L'últim teorema de Fermat és famós perquè el seu enunciat pot ser entès per un estudiant, mentre que la seva demostració es troba entre les construccions més profundes de la matemàtica moderna.
Andrew Wiles no va demostrar el teorema manipulant directament l'equació de Fermat. El va resoldre demostrant una connexió molt més general entre dues branques de les matemàtiques.
La gran lliçó d'aquesta història és que alguns problemes no es resolen atacant-los directament. De vegades cal construir tot un nou llenguatge abans de poder entendre per què la resposta és certa.
Referencies
- MacTutor – Història de l'últim teorema de Fermat
- Biografia d'Andrew Wiles
- Article original d'Andrew Wiles
- Article complementari de Taylor i Wiles
- American Mathematical Society – Explicació de Kenneth Ribet
- El enigma del teorema de Fermat
Videos
Pierre de Fermat va afirmar que l’equació an+bn=cn no té solucions enteres positives quan n>2. El problema va resistir durant més de 350 anys, fins que Andrew Wiles el va demostrar relacionant les corbes el·líptiques amb les formes modulars.