El mètode per resoldre l'impossible
Quan les matemàtiques renuncien a calcular... i comencen a fer proves
Introducció
Alguns problemes són tan complexos que ni els ordinadors més potents poden resoldre'ls mitjançant un càlcul exacte en un temps raonable. Però això no significa que no en puguem obtenir una resposta molt bona.
El mètode de Montecarlo parteix d'una idea sorprenentment senzilla: en lloc d'intentar calcular directament la solució, fem milers o milions de proves aleatòries i n'observem el resultat. Gràcies a aquest enfocament, avui és possible predir el comportament d'un reactor nuclear, calcular riscos financers, entrenar sistemes d'intel·ligència artificial o fins i tot estimar el valor del nombre π.
En aquest article descobrirem com un mètode basat en l'atzar ha esdevingut una de les eines més potents de la ciència i de l'enginyeria modernes.
La idea bàsica
A les matemàtiques hi ha problemes que es poden resoldre amb una fórmula exacta. Però també n'hi ha d'altres tan complexos que trobar aquesta solució és inviable, fins i tot amb els ordinadors actuals.
En aquests casos, el mètode de Montecarlo canvia completament l'enfocament. En lloc d'intentar calcular directament la resposta, accepta que una bona estimació és suficient.
Per aconseguir-la, es repeteix moltes vegades un petit experiment en què intervé l'atzar. Cada prova, per si sola, aporta molt poca informació. Però quan se'n fan milers, milions o fins i tot milers de milions, els resultats comencen a mostrar un patró molt estable.
Aquest patró permet estimar la resposta amb una precisió sorprenent.
En resum, el mètode de Montecarlo es basa en una idea molt senzilla:
- Es defineix un experiment aleatori relacionat amb el problema.
- Es repeteix un gran nombre de vegades.
- S'analitzen els resultats obtinguts.
- S'utilitzen aquests resultats per estimar la solució.
Pot semblar contradictori que l'atzar serveixi per obtenir respostes fiables. Però, precisament, quan es fan prou proves, el comportament global deixa de ser caòtic i apareixen regularitats que les matemàtiques poden aprofitar.
Alguns exemples
Tot i que el mètode de Montecarlo va néixer en l'àmbit de la física, avui s'utilitza en disciplines molt diverses. Aquests són alguns exemples:
Predicció meteorològica
Els meteoròlegs no calculen una única previsió del temps. En realitat, executen milers de simulacions modificant lleugerament les condicions inicials (temperatura, humitat, pressió, vent...). Si una gran majoria de simulacions coincideixen que plourà, la probabilitat de pluja és molt elevada.
Disseny d'avions i automòbils
Abans de fabricar un vehicle, els enginyers simulen milers de situacions diferents: canvis de temperatura, vibracions, impactes, desgast dels materials o càrregues extremes. Això permet detectar possibles problemes sense haver de construir centenars de prototips.
Finances i inversions
Els mercats financers són molt difícils de predir. Per estimar el risc d'una inversió, els analistes generen milers d'escenaris possibles sobre l'evolució dels preus, dels tipus d'interès o de les divises. Així poden calcular la probabilitat de guanyar o perdre diners.
Intel·ligència artificial
Molts algorismes d'intel·ligència artificial utilitzen simulacions aleatòries per trobar la millor decisió possible. També és una tècnica habitual en robots, videojocs i sistemes que han de planificar accions en entorns molt complexos.
Investigació científica
En física, química o biologia sovint és impossible estudiar totes les interaccions d'un sistema. Les simulacions de Montecarlo permeten aproximar el comportament de molècules, reactors nuclears, nous medicaments o fins i tot galàxies senceres.
Com podem veure, el mètode de Montecarlo no busca una resposta exacta. El seu objectiu és obtenir una estimació prou bona per poder prendre decisions amb confiança.
Calcular π llançant punts a l'atzar
Pot semblar increïble, però és possible estimar el valor del nombre π utilitzant només punts distribuïts aleatòriament.
Imaginem un quadrat de costat 2. A l'interior hi dibuixem un cercle de radi 1, de manera que el cercle queda perfectament inscrit dins del quadrat.
Ara deixem caure milers de punts de forma completament aleatòria sobre el quadrat.
Alguns punts cauran dins del cercle i d'altres en quedaran fora.
La pregunta és: quina proporció de punts haurà caigut dins del cercle?
La resposta depèn de les àrees.
- L'àrea del quadrat és:
2 × 2 = 4
- L'àrea del cercle és:
π × 12 = π
Per tant, la probabilitat que un punt caigui dins del cercle és simplement:
π4
Això vol dir que, si llancem molts punts i comptem quants han caigut dins del cercle, podem calcular una aproximació de π amb aquesta fórmula:
π ≈ 4 × punts dins del cerclepunts totals
Per exemple, si llancem 1.000.000 de punts i 785.420 cauen dins del cercle, obtenim:
π ≈ 4 × 7854201000000 = 3,14168
Un resultat molt proper al valor real de π (3,14159265...).
Aquest exemple il·lustra perfectament la filosofia del mètode de Montecarlo. No hem calculat π amb geometria ni amb fórmules complicades. Simplement hem deixat que l'atzar treballés per nosaltres i hem utilitzat les lleis de la probabilitat per obtenir una estimació molt precisa.
Una idea nascuda durant la Segona Guerra Mundial
El mètode de Montecarlo va començar a prendre forma a mitjan segle XX, durant el Projecte Manhattan, el programa secret dels Estats Units que tenia com a objectiu desenvolupar la primera bomba atòmica.
Els físics s'enfrontaven a problemes extraordinaris. Per exemple, volien entendre com es comportaven els neutrons a l'interior d'un reactor nuclear o d'una explosió. El nombre de possibles interaccions era tan gran que resoldre-les mitjançant càlculs exactes resultava pràcticament impossible.
L'any 1946, el matemàtic Stanislaw Ulam va tenir una idea mentre es recuperava d'una malaltia. Jugant a jocs de cartes, es va preguntar si, en lloc d'intentar calcular exactament la probabilitat de guanyar una partida de solitari, no seria més senzill jugar-ne milers de vegades i comptar quantes acabaven amb èxit.
Aquella intuïció va donar lloc a una nova manera de resoldre problemes.
Ulam va comentar la idea amb el prestigiós matemàtic John von Neumann, que va veure immediatament el seu enorme potencial. Junts van desenvolupar els primers algorismes capaços d'aprofitar els primers ordinadors electrònics per executar milions de simulacions aleatòries.
Per què s'anomena «Montecarlo»?
El nom no té cap origen matemàtic.
Va ser el físic Nicholas Metropolis, col·laborador d'Ulam i von Neumann, qui va proposar anomenar aquest mètode Montecarlo en referència al famós barri de Mònaco conegut arreu del món pels seus casinos.
La comparació era molt encertada: igual que en una ruleta o en uns daus, cada simulació depèn de l'atzar. Però, quan es repeteixen milions de jugades, apareixen patrons estadístics que permeten estimar amb gran precisió la resposta buscada.
Actualment, el mètode de Montecarlo s'utilitza en camps tan diversos com la física, la medicina, la meteorologia, les finances, la logística, la intel·ligència artificial o fins i tot la indústria del cinema per generar efectes visuals realistes.
Avantatges i limitacions
El mètode de Montecarlo s'utilitza des de fa dècades perquè permet resoldre problemes que, sovint, serien impossibles d'abordar amb un càlcul exacte. Tot i això, com qualsevol eina, també té les seves limitacions.
Avantatges
- Permet afrontar problemes molt complexos. Hi ha situacions amb tantes variables que una fórmula matemàtica resulta inviable. Les simulacions ofereixen una alternativa molt eficaç.
- És fàcil d'adaptar. Un cop definit el model, es poden modificar les condicions i repetir les simulacions sense haver de començar de zero.
- Millora amb el nombre de proves. En general, com més simulacions es fan, més precisa és l'estimació obtinguda.
- És ideal per als ordinadors. Les simulacions són independents entre elles i es poden repartir entre diversos processadors, fet que permet aprofitar tota la potència dels ordinadors actuals.
Limitacions
- No proporciona una resposta exacta. El resultat sempre és una aproximació, encara que pugui arribar a ser extraordinàriament precisa.
- Calen moltes simulacions. Per obtenir una bona estimació, sovint és necessari executar milions o fins i tot milers de milions de proves.
- Depèn de la qualitat del model. Si les regles que defineixen la simulació no representen correctament la realitat, els resultats també seran poc fiables. Es diu sovint que un bon mètode no pot compensar un mal model.
- Els nombres aleatoris han de ser de qualitat. Les simulacions utilitzen nombres pseudoaleatoris generats per ordinador. Si aquests presenten biaixos o patrons, també poden afectar el resultat final.
Referències
- What is Monte Carlo Simulation?
- National Institute of Standards and Technology (NIST) – Monte Carlo algorithm
- National Institute of Standards and Technology (NIST) – The Other Monte Carlo Method
- Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) – The Monte Carlo Method
Bibliografia
- Metropolis, N.; Ulam, S. (1949). The Monte Carlo Method. Journal of the American Statistical Association, 44(247), 335–341.
- Ulam, Stanislaw (1976). Adventures of a Mathematician. Charles Scribner's Sons.
- Kroese, D. P.; Taimre, T.; Botev, Z. I. (2011). Handbook of Monte Carlo Methods. Wiley.
Vídeos
El mètode de Montecarlo estima el valor de π comptant la proporció de punts aleatoris que cauen dins d'un cercle.