Per què un mico mai escriurà Hamlet (2 de 2)
Quan una possibilitat matemàtica esdevé físicament impossible
Introducció
En el post anterior, "Possible no vol dir probable: la trampa mental que ens costa diners", vam veure que hi ha successos que, tot i ser matemàticament possibles, tenen una probabilitat tan petita que mai no esperem observar-los.
Mentre preparava aquell article vaig escriure un petit programa en Python que simulava el famós teorema del mico infinit.
L'objectiu era molt senzill: generar lletres completament aleatòries fins que aparegués la paraula HAMLET.
Només sis lletres.
El programa va necessitar aproximadament sis minuts per aconseguir-ho.
Va ser aleshores quan em vaig fer una pregunta molt més interessant que el propi experiment:
Si escriure sis lletres ja costa tant... com és possible que un mico arribi algun dia a escriure tota l'obra de Shakespeare?
Veiem-ho
El nostre petit experiment
Aquest és el codi Python:
import random
import time
# *********************** INPUTS ***********************************************
paraula = "HAMLET"
# ******************************************************************************
# ************************* SimuladorMico **************************************
def SimuladorMico(paraula):
caracters = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
intents = 0
inici = time.time()
while True:
text = ""
for i in range(len(paraula)):
text += random.choice(caracters)
intents += 1
print(str(intents).rjust(10), text)
if text == paraula:
break
temps = time.time() - inici
return intents, temps
# ******************************************************************************
# ************************* MAIN ***********************************************
intents, temps = SimuladorMico(paraula)
print()
print("Paraula trobada:",paraula)
print("Nombre d'intents:",intents)
print("Temps:",round(temps,3),"segons")
print("Temps:",round(temps/60,2),"minuts")
# ******************************************************************************
La probabilitat d'encertar HAMLET en un sol intent és:
P = 1 / 266 és a dir, P = 1 / 308.915.776
Podeu fer una prova interactiva en aquest simulador més elaborat:
Quan els micos escriptors van existir de debò
L'any 2002, professors i estudiants de la Universitat de Plymouth (Regne Unit) van instal·lar un ordinador amb teclat dins d'una gàbia amb sis macacos de cresta de les Cèlebes (Macaca nigra) al zoo de Paignton. L'experiment formava part d'un projecte artístic i científic anomenat Vivaria Project.
Els investigadors van deixar els micos interactuar lliurement amb el teclat durant aproximadament un mes.
El resultat
Va ser molt menys literari del que s'esperava.
Els micos:
- van prémer tecles de manera esporàdica;
- el mascle dominant va colpejar el teclat amb una pedra;
- diversos animals van orinar i defecar damunt l'ordinador;
- al final només es van obtenir cinc pàgines de text, formades gairebé exclusivament per la lletra S, amb alguna aparició ocasional de les lletres A, J, L i M. No van arribar a formar ni una sola paraula recognoscible.
Aquesta és una dels fragments de les pàgines produïdes:
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS ...
Teniu l'enllaç del resultat a sota.
Aquest experiment no prova que el teorema sigui fals, perquè els seus supòsits no es compleixen.
El teorema pressuposa que:
- cada pulsació és completament aleatòria;
- totes les tecles tenen la mateixa probabilitat de ser premudes;
- les pulsacions són independents;
- el procés continua durant un temps infinit.
Un mico real no fa això.
De fet, els investigadors van observar que els animals repetien determinats moviments i mostraven preferència per algunes tecles. És a dir, el comportament no era aleatori, sinó condicionat pel seu comportament natural.
El que sembla encara més interessant
L'any 2024, dos matemàtics de la University of Technology Sydney van donar una volta més al problema.
En lloc d'assumir temps infinit, van preguntar-se:
Què passa si només disposem del temps que durarà el nostre univers?
Van calcular el cas més favorable imaginable:
- tots els aproximadament 200.000 ximpanzés que existeixen a la Terra;
- escrivint una tecla cada segon;
- fins a la mort tèrmica estimada de l'univers.
La conclusió va ser contundent:
No hi ha prou temps perquè arribin a escriure les obres completes de Shakespeare.
El Million Monkeys Project
L'any 2011, el programador nord-americà Jesse Anderson va crear el Million Monkeys Project, un experiment informàtic que simulava milions de micos virtuals escrivint cadenes de caràcters aleatoris.
El sistema funcionava sobre ordinadors locals i servidors d'Amazon EC2, utilitzant Hadoop per generar i comprovar enormes quantitats de text. Cada "mico" produïa blocs aleatoris de nou caràcters, que després es comparaven amb les obres de Shakespeare. Quan un bloc coincidia amb algun fragment, es conservava i es marcava com a trobat. Després de generar i revisar més de 7,5 bilions de blocs, Anderson va anunciar que el projecte havia reconstruït les 38 obres de Shakespeare.
Tanmateix, això no significa que un dels micos virtuals hagués escrit tota l'obra de manera consecutiva: el programa va reunir milions de coincidències petites obtingudes en intents independents. Per tant, l'experiment s'assembla més a un trencaclosques construït amb fragments seleccionats que no pas a una demostració literal del teorema del mico infinit.
El problema és una sola paraula: infinit
És fàcil caure en el parany de pensar que un milió d'anys, mil milions d'anys o fins i tot tota l'edat de l'univers són quantitats "gairebé infinites". Però, matemàticament, continuen sent quantitats finites.
Temps infinit no és el mateix que molt de temps.
Aquesta diferència és molt més important del que sembla.
Per gran que sigui una quantitat finita, sempre podem imaginar un esdeveniment amb una probabilitat encara més petita. Arriba un punt en què el nombre d'oportunitats disponibles ja no és suficient perquè aquell esdeveniment tingui una possibilitat real de produir-se.
Això és precisament el que passa amb el teorema del mico infinit. El resultat només és inevitable perquè el nombre d'intents és infinit. Si els intents són finits ,encara que siguin immensos, ja no podem afirmar que Hamlet acabarà apareixent.
Confondre una quantitat immensament gran amb l'infinit és un dels errors més habituals quan interpretem els resultats de la teoria de la probabilitat. Les matemàtiques poden treballar amb infinits; l'univers, almenys pel que sabem avui, no.
La llei de Borel
Émile Borel va proposar una idea molt útil:
hi ha probabilitats tan petites que, encara que no siguin exactament zero, es poden considerar impossibles en la pràctica.
En els seus treballs sobre probabilitat va suggerir una escala de certitud pràctica. Una de les simplificacions més conegudes és considerar que un esdeveniment amb probabilitat inferior a 10−6 (una possibilitat entre un milió) ja pot tractar-se com a impossible en la vida quotidiana.
Aquesta idea no és un teorema matemàtic sinó un criteri pràctic. En física i enginyeria sovint s'utilitzen llindars molt més estrictes, com 10-50 o fins i tot 10-100, quan es considera que un fenomen és irrellevant a escala de l'univers observable.
És precisament aquesta diferència entre possibilitat matemàtica i certitud pràctica la que explica per què un mico no escriurà mai Hamlet, malgrat que la probabilitat no sigui exactament zero.
La cartera del mico: quan l'atzar juga al nostre favor
Una de les conseqüències més curioses de la teoria de la probabilitat és la coneguda "cartera del mico" (Monkey Portfolio). La idea és molt senzilla: si un mico llancés dards sobre la pàgina financera d'un diari i seleccionés les accions de manera completament aleatòria, podria obtenir una rendibilitat comparable ,o fins i tot superior, a la de molts gestors professionals.
Aquest exemple no prové directament del teorema del mico infinit, però comparteix la mateixa idea de fons: quan intervenen milions de possibilitats, l'atzar és capaç de produir resultats sorprenentment bons.
La hipòtesi es va popularitzar el 1973, quan l'economista Burton G. Malkiel, professor de la Universitat de Princeton, va escriure al seu llibre A Random Walk Down Wall Street que un mico amb els ulls embenats llançant dards sobre la secció borsària d'un diari podria confeccionar una cartera tan bona com la d'un expert.
Amb els anys, diversos mitjans de comunicació i institucions financeres van decidir posar aquesta idea a prova. En nombrosos experiments, una cartera escollida completament a l'atzar va arribar a superar els resultats obtinguts per gestors professionals durant períodes determinats. Això no significa que l'atzar sigui una bona estratègia d'inversió, sinó que és extraordinàriament difícil superar de manera consistent el comportament global del mercat.
Aquestes proves reforcen una de les conclusions de la teoria financera moderna: en mercats molt eficients, trobar de forma repetida accions infravalorades és molt més complicat del que sembla. Per aquest motiu, molts inversors prefereixen invertir en fons indexats que repliquen el mercat en lloc d'intentar seleccionar les "millors" empreses.
La història de la cartera del mico ens recorda que l'atzar pot produir resultats sorprenents. Però també il·lustra una idea important: un bon resultat puntual no demostra l'existència d'una estratègia. En probabilitat, els successos extraordinaris acaben apareixent de tant en tant, encara que no hi hagi cap habilitat al darrere.
Si el que t'atreu de la "cartera del mico" és la idea de no intentat endevinar quina empresa serà la guanyadora i no dependre del criteri d'analistes financers, en el món real la majoria d'inversors utilitzen fons indexats o ETFs. Per exemple
- ETFs Equiponderats (Equal Weight): Existeixen ETFs (com el Invesco S&P 500 Equal Weight) que inverteixen exactament la mateixa quantitat en totes les empreses d'un índex. Això elimina el biaix de selecció i la necessitat de fer la tria manualment, reduint costos de comissió.
Però si tot i així vols fer una tria aleatoria, aqui tens un script en Python per poder-ho fer:
import random
import pandas as pd
import yfinance as yf
# *********************** INPUTS ***********************************************
# 1. Definir l'univers d'accions (pols de candidats)
# Pots afegir-hi els tickers que vulguis (ex: IBEX 35 amb '.MC' o accions dels EUA)
univers_accions = [
"AAPL","MSFT","GOOGL","AMZN","NVDA","META",
"TSLA","JNJ","JPM","V","PG","SAN.MC","ITX.MC",
"BBVA.MC","TEF.MC","IBE.MC",
]
# 2. Paràmetres de la cartera
NUM_ACCIONS = 5 # Quantes accions volem que triï el mico
CAPITAL_TOTAL = 10000 # Capital total a invertir (€ / $)
# ******************************************************************************
# ************************* TriaAccions ****************************************
def TriaAccions(cartera_mico):
print("🎯 LA CARTERA DEL MICO 🎯")
print(f"Accions triades a l'atzar: {', '.join(cartera_mico)}\n")
# 4. Obtenir dades reals i calcular la distribució (Equal Weighting)
capital_per_accio = CAPITAL_TOTAL / NUM_ACCIONS
resum_cartera = []
for ticker_symbol in cartera_mico:
ticker = yf.Ticker(ticker_symbol)
# Obtenim informació del ticker
info = ticker.info
preu_actual = info.get("currentPrice") or info.get("regularMarketPrice")
nom_empresa = info.get("shortName", ticker_symbol)
moneda = info.get("currency", "USD")
if preu_actual:
num_titols = capital_per_accio / preu_actual
resum_cartera.append(
{
"Ticker": ticker_symbol,
"Empresa": nom_empresa,
"Preu Actual": f"{preu_actual:.2f} {moneda}",
"Inversió": f"{capital_per_accio:.2f} {moneda}",
"Títols a comprar": round(num_titols, 2),
}
)
# 5. Mostrar la cartera resultant
df_cartera = pd.DataFrame(resum_cartera)
print(df_cartera.to_string(index=False))
# ******************************************************************************
# ************************* MAIN ***********************************************
# 3. La selecció aleatòria (el "llançament de dards")
cartera_mico = random.sample(univers_accions, NUM_ACCIONS)
TriaAccions(cartera_mico)
print("--FET--")
# ******************************************************************************
Matemàticament possible. Físicament impossible
| Matemàtiques | Física |
|---|---|
| Només importa la probabilitat | També importa el temps disponible |
| L'infinit és admissible | L'univers és finit |
| Els intents poden ser infinits | Els intents són finits |
| El teorema és cert | El fenomen no arribarà a produir-se |
La probabilitat més extraordinària: que tu existeixis
Després de parlar de micos, Shakespeare i probabilitats gairebé impossibles, val la pena mirar cap a nosaltres mateixos.
Quina probabilitat hi havia que existissis exactament tu?
Per començar, els teus pares s'havien de conèixer en el moment adequat. Si qualsevol dels dos hagués nascut només uns anys abans o després, probablement mai no s'haurien trobat.
Però això és només el principi.
En cada fecundació competeixen centenars de milions d'espermatozoides. Només un arriba a l'òvul. Si n'hagués arribat un altre, encara que fos del mateix pare i la mateixa mare, la combinació genètica hauria estat diferent i hauria nascut una altra persona.
Aquesta situació es repeteix en cadascun dels teus avantpassats. Els teus pares, avis, besavis i totes les generacions anteriors també van ser el resultat d'una cadena ininterrompuda de coincidències extraordinàriament improbables.
Alguns biòlegs han intentat estimar aquesta probabilitat. Les xifres varien molt segons les hipòtesis adoptades, però sovint es parla de valors de l'ordre de 10-2.000 o fins i tot molt inferiors. En qualsevol cas, són nombres immensament més petits que qualsevol llindar utilitzat per Émile Borel per definir la certitud pràctica.
I, tanmateix, aquí estem.
Això ens recorda una idea fonamental de la teoria de la probabilitat: un succés extraordinàriament improbable no és un succés impossible. El fet que avui existeixis no significa que la teva aparició fos probable. Significa simplement que un dels molts camins possibles de la història de l'univers ha acabat conduint fins a tu.
És una paradoxa aparent. Quan mirem cap al futur, una probabilitat ínfima ens fa pensar que un esdeveniment mai no passarà. Però quan mirem cap al passat, sabem que un dels esdeveniments més improbables imaginables ja s'ha produït: la nostra pròpia existència.
Potser aquesta és la lliçó més important de totes. Les probabilitats ens ajuden a predir què és raonable esperar. Però no poden explicar, per si soles, per què nosaltres som precisament els que hem acabat observant aquest univers.
Una paradoxa només aparent
Pot semblar una contradicció afirmar que alguns successos són tan improbables que es consideren físicament impossibles (menors de 10-100) i, alhora, recordar que la nostra pròpia existència també és el resultat d'una cadena de coincidències extraordinàriament improbables.
Però, en realitat, estem parlant de dues preguntes diferents.
Quan calculem la probabilitat d'un succés abans que passi, intentem predir si és raonable esperar-lo. En canvi, quan calculem la probabilitat d'un succés que ja sabem que ha passat, només estem descrivint una història concreta entre totes les que haurien pogut ocórrer.
És com una loteria. Abans del sorteig, la probabilitat que guanyi el teu bitllet és molt petita. Després del sorteig, però, ningú no es sorprèn que hagi sortit precisament un número: necessàriament n'havia de sortir un.
La nostra existència és un cas semblant. No era probable que existissis exactament tu, però era inevitable que algú acabés existint. La probabilitat explica què és raonable esperar abans que succeeixi un fet, no determina quin dels molts resultats possibles acabarà convertint-se en realitat.
El mite de "si esperem prou"
Sovint sentim afirmacions com aquesta:
"Si esperem prou temps, acabarà passant."
És una frase molt popular, però és enganyosa.
En realitat, només és certa si "prou temps" significa temps infinit. I aquí hi ha la diferència fonamental.
La intuïció ens fa pensar que un milió d'anys, mil milions d'anys o fins i tot tota la vida de l'univers són quantitats "gairebé infinites". Però des del punt de vista matemàtic continuen sent quantitats finites.
Això significa que sempre existeixen esdeveniments amb una probabilitat tan petita que ni tan sols aquest temps immens és suficient perquè sigui raonable esperar que arribin a produir-se.
Aquest és el punt que sovint s'oblida quan es parla del teorema del mico infinit. El teorema no afirma que un mico escriurà Hamlet si li donem molt de temps. Afirma que això només és inevitable si disposa d'un nombre infinit d'intents.
Confondre una quantitat immensament gran amb l'infinit és un dels errors més habituals quan intentem aplicar les matemàtiques a la realitat. L'univers pot semblar immens, però continua sent finit. I aquest petit matís és suficient per canviar completament les conclusions.
Conclusions
El teorema del mico infinit és un resultat matemàtic impecable, però es basa en un supòsit que probablement mai no existirà: el temps infinit.
Quan substituïm aquest infinit pel nostre univers —finit en temps, matèria i energia—, moltes possibilitats matemàtiques deixen de ser físicament realitzables.
Aquest és, probablement, el veritable missatge del teorema: les matemàtiques descriuen allò que és possible; la física ens recorda què és realment esperable.
Referències
- It's not to be. Universe too short for Shakespeare typing monkeys — University of Technology Sydney
- A numerical evaluation of the Finite Monkeys Theorem — Franklin Open
- To be, or not to be, that is the Question: Exploring the pseudorandom generation of texts to write Hamlet
- Un experimento con monos virtuales consigue reescribir las obras completas de Shakespeare
- Monkeys fail to produce masterpiece
Bibliografia
- Borel, Émile. Mécanique statistique et irréversibilité. 1913.
- Woodcock, Stephen W.; Falletta, Jay. "A numerical evaluation of the Finite Monkeys Theorem". Franklin Open, 2024.
- Dawkins, Richard. The Blind Watchmaker. Longman, 1986.
Vídeos
Podcasts
El teorema del mico infinit afirma que una seqüència aleatòria acabarà reproduint qualsevol text finit, però només si disposa d'un nombre infinit d'intents.
Annexos
Resultat escrit pels micos ...