Els falsos positius: què cal entendre pel bé de la nostra salut
Per què un resultat positiu no sempre significa que estiguis malalt
Introducció
Tots hem sentit alguna vegada frases com aquestes:
"Aquest test és fiable al 98%."
"La prova ha sortit positiva."
La reacció més habitual és pensar que hi ha un 98% de probabilitats de patir la malaltia. Però aquesta conclusió és, en molts casos, incorrecta.
De fet, hi ha situacions en què una persona que obté un resultat positiu té més probabilitats d'estar sana que malalta.
Com és possible?
La resposta no és que el test sigui dolent. Pot ser un test excel·lent. El problema és que la nostra intuïció acostuma a interpretar malament les probabilitats.
Aquest és un dels exemples més sorprenents de la teoria de la probabilitat i una aplicació directa del teorema de Bayes, una eina matemàtica fonamental en medicina, estadística, intel·ligència artificial i presa de decisions.
Un exemple que sorprèn gairebé tothom
Imaginem una malaltia poc freqüent que afecta el 0,5% de la població.
Disposem d'un test amb una fiabilitat del 98%. És a dir:
- si una persona està malalta, el test donarà positiu en el 98% dels casos;
- si una persona està sana, el test donarà negatiu en el 98% dels casos.
Ara imagina que et fas la prova i el resultat és positiu.
Quina probabilitat creus que tens d'estar realment malalt?
La majoria de persones respondrien una xifra molt propera al 98%. Però la resposta correcta és molt diferent.
Comptem persones, no percentatges
La manera més senzilla d'entendre aquest problema és oblidar-nos, per un moment, dels percentatges i comptar persones.
Imaginem una població de 10.000 persones.
- 50 persones estan realment malaltes.
- 9.950 persones estan sanes.
Entre les persones malaltes, el test detectarà correctament el 98% dels casos:
- 49 positius reals;
- 1 fals negatiu.
Entre les persones sanes, el test s'equivocarà en un 2% dels casos:
- 199 falsos positius;
- 9.751 negatius correctes.
El resum és aquest:
| Resultat | Persones |
|---|---|
| Positius reals | 49 |
| Falsos positius | 199 |
| Positius totals | 248 |
Només 49 de les 248 persones que han obtingut un resultat positiu estan realment malaltes: 49248=0,198
És a dir:
Només aproximadament un 20% dels resultats positius corresponen realment a persones malaltes.
Dit d'una altra manera, quatre de cada cinc persones que obtenen un resultat positiu no tenen la malaltia.
Per què la intuïció ens falla?
Quan ens diuen que un test és fiable al 98%, acostumem a interpretar:
"Si el meu resultat és positiu, tinc un 98% de probabilitats d'estar malalt."
Però això no és el que significa aquesta dada. En realitat significa:
"Si una persona està malalta, el test donarà positiu el 98% de les vegades."
Aquestes dues probabilitats no són iguals:
- la probabilitat que el test sigui positiu sabent que la persona està malalta;
- la probabilitat que la persona estigui malalta sabent que el test ha donat positiu.
Sembla un simple canvi en l'ordre de les paraules, però els resultats poden ser completament diferents.
Què és una probabilitat condicionada?
Una probabilitat condicionada és la probabilitat que passi un esdeveniment quan ja coneixem una informació prèvia.
Per exemple, la probabilitat d'obtenir un sis en llançar un dau és 1/6. Però si algú ens informa que el resultat és un nombre parell, només queden tres possibilitats: 2, 4 o 6. La probabilitat d'haver obtingut un sis passa a ser 1/3.
La informació nova ha modificat la probabilitat.
Matemàticament, la probabilitat que passi A sabent que ha passat B s'escriu: P(A|B)
En el nostre exemple:
- A és que la persona estigui malalta;
- B és que el test hagi donat positiu.
Per tant, el que volem conèixer és: P(malalt∣positiu)
No hem de confondre aquesta probabilitat amb: P(positiu∣malalt)
El teorema de Bayes
El teorema rep el nom del matemàtic anglès Thomas Bayes, el treball del qual sobre la probabilitat condicionada es va publicar pòstumament al segle XVIII.
La fórmula és:
La seva idea essencial és senzilla:
Cada vegada que apareix una nova evidència, hem de revisar la probabilitat inicial.
En l'exemple anterior, abans de fer la prova només un 0,5% de la població tenia la malaltia. El resultat positiu fa augmentar aquesta probabilitat, però no fins al 98%, sinó fins a aproximadament el 20%, perquè també existeixen falsos positius.
El teorema de Bayes és la regla matemàtica que permet fer aquesta actualització correctament.
Simulador interactiu:
El simulador permet modificar:
- la població;
- la prevalença de la malaltia;
- la sensibilitat del test;
- l'especificitat del test.
I calcula automàticament els positius reals, falsos positius, negatius correctes, falsos negatius i la probabilitat real d’estar malalt després d’un resultat positiu.
Un exemple molt proper: el test de sang oculta en femta
A Catalunya, el Programa de detecció precoç del càncer de còlon i recte convida periòdicament la població de la franja d'edat establerta a fer-se una prova a casa.
El test busca petites quantitats de sang a la femta que no es poden veure a simple vista.
Un resultat positiu no és un diagnòstic de càncer. Indica que s'ha detectat sang i que cal investigar-ne l'origen mitjançant una prova més precisa.
Segons la informació oficial del programa, quan el resultat és positiu es proposa una colonoscòpia, que permet explorar l'interior del còlon i del recte, detectar lesions i obtenir mostres quan sigui necessari.
La sang detectada pot procedir de diverses causes. També es poden trobar pòlips o adenomes que encara no són un càncer, però que convé extirpar perquè alguns podrien evolucionar amb el temps.
Aquest procediment mostra la diferència entre:
- una prova de cribratge, pensada per seleccionar les persones que necessiten més exploracions;
- una prova diagnòstica, destinada a confirmar o descartar la malaltia.
Un resultat positiu en un test de cribratge no és un diagnòstic. És un senyal que indica que cal fer proves més precises.
Altres aplicacions pràctiques
El mateix raonament apareix en molts altres camps.
- Altres cribratges mèdics
Quan es busca una malaltia poc freqüent en una població molt gran, fins i tot un bon test pot produir molts falsos positius. Per això, els resultats inicials acostumen a confirmar-se amb proves addicionals.
- Controls de drogues
Un primer test positiu pot requerir una anàlisi confirmatòria més específica abans de prendre una decisió mèdica, laboral o jurídica.
- Intel·ligència artificial
Alguns sistemes de classificació, filtres de correu brossa i eines de diagnòstic utilitzen mètodes bayesians per actualitzar les probabilitats a mesura que reben informació nova.
- Sistemes de recomanació
Plataformes com Amazon o Netflix l'usen per prediure què t'agrada segons el teu comportament previ.
- Investigació policial
Una prova o coincidència pot modificar la probabilitat d'una hipòtesi, però no s'ha d'interpretar de manera aïllada. Cal valorar-la conjuntament amb la resta d'evidències.
- Vehicles autònoms
S'actualitza contínuament la posició dels objectes del voltant per calcular el risc de col·lisió en temps real.
El teorema de Bayes aplicat al filtratge de correu brossa
Una de les aplicacions més conegudes del teorema de Bayes és la classificació automàtica del correu electrònic com a correu legítim o correu brossa (spam).
El filtre analitza determinades característiques del missatge, especialment les paraules que conté. Expressions com ara oferta, premi, gratis, guanyador o urgent poden aparèixer amb més freqüència en els missatges brossa que en els correus legítims.
Però la presència d'una sola paraula no és suficient per classificar un missatge. La paraula oferta, per exemple, també pot aparèixer en un correu comercial perfectament legítim.
El filtre parteix d'una probabilitat inicial basada en els missatges que ha analitzat anteriorment i es pregunta:
Quina probabilitat hi ha que aquest missatge sigui correu brossa sabent que conté determinades paraules?
Aquesta és una probabilitat condicionada: P(spam|paraules observades)
Mitjançant el teorema de Bayes, el sistema relaciona aquesta probabilitat amb dues dades:
- la freqüència amb què aquelles paraules apareixen en els missatges brossa;
- la freqüència amb què apareixen en els correus legítims.
Imaginem que la paraula premi apareix en el 60% dels missatges brossa, però només en l'1% dels missatges legítims. La seva presència augmentarà considerablement la probabilitat que el missatge sigui sospitós. En canvi, paraules habituals en tota mena de correus aportaran molt poca informació.
Els primers filtres bayesians milloraven amb l'experiència. Quan l'usuari marcava un missatge com a correu brossa o recuperava un correu classificat incorrectament, el sistema actualitzava les freqüències i ajustava les probabilitats.
Un dels mètodes més coneguts és el classificador Naive Bayes, que combina la informació aportada per diverses paraules. S'anomena ingenu perquè simplifica el càlcul assumint que les característiques analitzades són independents entre elles, una hipòtesi que no sempre és certa en el llenguatge real, però que sovint dona resultats prou bons.
També aquí poden aparèixer els dos tipus d'error:
- fals positiu: un correu legítim acaba a la carpeta de correu brossa;
- fals negatiu: un missatge brossa arriba a la safata d'entrada.
Per això, els sistemes actuals no acostumen a dependre exclusivament d'un classificador bayesià. També poden analitzar el remitent, els enllaços, la reputació del servidor, l'estructura del missatge i altres indicadors.
El filtre de correu brossa no busca una certesa absoluta. Reuneix evidències i actualitza la probabilitat que el missatge sigui fraudulent o no desitjat.
Aquesta és, novament, la idea central del teorema de Bayes: partir d'una probabilitat inicial i modificar-la a mesura que apareixen noves dades.
Conclusions
La fiabilitat d'un test no és el mateix que la probabilitat d'estar malalt després d'obtenir un resultat positiu.
Per interpretar correctament el resultat cal tenir en compte:
- la freqüència inicial de la malaltia en la població;
- la capacitat del test per detectar les persones malaltes;
- la proporció de falsos positius;
- i la informació aportada per les proves posteriors.
Aquesta és la gran lliçó del teorema de Bayes: una evidència nova modifica el que sabíem, però no esborra la probabilitat inicial.
Entendre-ho ens ajuda a evitar conclusions precipitades i a comprendre per què un primer resultat positiu acostuma a necessitar una prova de confirmació.
Referències
- Programa de detecció precoç del càncer de còlon i recte — Canal Salut
- En què consisteix el programa de detecció precoç — Canal Salut
- Estadístiques del programa de detecció precoç del càncer de còlon i recte — Canal Salut
- Probabilitat condicionada — Viquipèdia
- Aplicación del Teorema de Bayes en Diagnóstico Médico
- Qué es el teorema de Bayes, el potente método para generar conocimiento que nació cuando trataban de demostrar un milagro
- La falacia del fiscal
Bibliografia
- Bayes, Thomas. An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances.
- Spiegelhalter, David. The Art of Statistics: Learning from Data.
- Pearl, Judea; Mackenzie, Dana. The Book of Why.
Videos
- CLÍNICA Y ANÁLISIS DE BAYES. PARTE 1/5
- Cómo Escapar de la Trampa Bayesiana
- Cómo entender el Teorema de Bayes en minutos
Podcast
Els falsos positius mostren que la fiabilitat d'un test no equival directament a la probabilitat d'estar malalt després d'un resultat positiu.
Retrat de Thomas Bayes, que curiosament, no va publicar mai el teorema que avui porta el seu nom. Després de la seva mort, el matemàtic Richard Price va ordenar els seus manuscrits i en va publicar els resultats l'any 1763.
En aquesta infografia intentem explicar el desenvolupament de la fórmula de Bayes amb un esquema diferent.