Introducció

La campana de Gauss és una de les formes més conegudes de l'estadística. Apareix en fenòmens molt diferents: mesures físiques, alçades, errors experimentals o resultats de mostres.

Però, per què aquesta forma apareix tan sovint?

Una part important de la resposta es troba en un dels resultats fonamentals de la probabilitat: el teorema central del límit.

Què és una distribució estadística?

Una distribució estadística descriu com es reparteixen els valors d'un conjunt de dades i amb quina freqüència apareix cadascun.

Per exemple, si mesurem l'alçada de 1.000 persones, no obtindrem totes les mesures iguals. Algunes alçades apareixeran moltes vegades i d'altres seran poc freqüents. La distribució ens permet veure com s'agrupen aquestes dades.

Una manera habitual de representar una distribució és mitjançant un histograma, on cada barra indica quants valors cauen dins d'un interval determinat.

Per tant, una distribució no ens diu només quina és la mitjana, sinó també com estan disperses les dades, si són simètriques, si hi ha valors extrems o si tendeixen a concentrar-se en una determinada zona.

Aquesta forma de repartir-se les dades és important perquè diferents fenòmens poden seguir distribucions molt diferents. Una de les més conegudes és la distribució normal, que veurem a continuació.

Què és una distribució normal?

La distribució normal és una distribució estadística en què la major part dels valors es concentren al voltant de la mitjana i, a mesura que ens n'allunyem, els valors són cada vegada menys freqüents.

La seva representació gràfica és simètrica: hi ha pocs valors molt petits, molts valors propers al centre i pocs valors molt grans. Aquesta forma característica és la que coneixem com a campana de Gauss.

En una distribució normal, la mitjana, la mediana i la moda coincideixen aproximadament al centre de la distribució.

A més, la dispersió de les dades es descriu mitjançant la desviació estàndard. Com més petita és, més estreta i alta és la campana; com més gran és, més ampla i baixa resulta.

Una regla molt coneguda ens diu que, en una distribució normal, aproximadament:

• el 68 % dels valors es troben a menys d'una desviació estàndard de la mitjana;
• el 95 %, a menys de dues;
• i el 99,7 %, a menys de tres.

Aquesta regularitat fa que la distribució normal sigui especialment útil per descriure i analitzar molts fenòmens reals.

La campana de Gauss

La representació gràfica d'una distribució normal té una forma molt característica: una corba simètrica, alta al centre i que disminueix suaument cap als extrems. Per aquest aspecte se la coneix popularment com a campana de Gauss.

El nom fa referència al matemàtic alemany Carl Friedrich Gauss, que va estudiar profundament aquesta distribució en relació amb els errors de mesura. Tot i això, la distribució normal ja havia estat treballada anteriorment per altres matemàtics, especialment Abraham de Moivre i Pierre-Simon Laplace.

La campana queda definida principalment per dos valors:

• la mitjana, que determina on se situa el centre;
• la desviació estàndard, que determina com d'ampla o estreta és la corba.

Dues distribucions normals poden tenir, per tant, la mateixa forma general però estar centrades en valors diferents o presentar una dispersió diferent.

Un detall important és que els extrems de la campana s'acosten cada vegada més a l'eix horitzontal, però teòricament mai no l'arriben a tocar. Això significa que els valors molt allunyats de la mitjana són molt poc probables, però no estrictament impossibles.

Per què apareix tan sovint?

La distribució normal apareix en molts àmbits perquè nombrosos fenòmens depenen de la combinació de molts petits factors independents.

Per exemple, l'alçada d'una persona no depèn d'una sola causa. Hi intervenen la genètica, l'alimentació, la salut, l'entorn i molts altres factors. Quan aquests petits efectes se sumen, el resultat acostuma a concentrar-se al voltant d'un valor mitjà, mentre que els valors molt allunyats són menys freqüents.

Passa una cosa semblant amb els errors de mesura, alguns processos de fabricació o determinades característiques biològiques.

Això no significa que totes les dades reals segueixin una distribució normal. De fet, moltes distribucions són asimètriques o tenen formes molt diferents.

La clau és una altra: quan treballem amb sumes o mitjanes de moltes observacions independents, la distribució normal tendeix a aparèixer de manera natural.

I és precisament això el que explica el teorema central del límit.

El teorema central del límit

El teorema central del límit afirma que, si prenem moltes mostres independents d'una mateixa població i calculem la mitjana de cadascuna, la distribució d'aquestes mitjanes tendeix a aproximar-se a una distribució normal quan la mida de les mostres és prou gran.

Això és especialment interessant perquè la població original no necessita seguir una distribució normal.

Podem partir, per exemple, d'una distribució uniforme, asimètrica o irregular. Tot i així, si repetim moltes vegades el procés de prendre mostres i calcular-ne la mitjana, aquestes mitjanes acabaran agrupant-se al voltant de la mitjana real de la població i formaran aproximadament una campana de Gauss.

Com més gran és la mida de cada mostra, més clara acostuma a ser aquesta aproximació.

Aquesta és la idea essencial del teorema: la normalitat pot aparèixer en les mitjanes encara que no sigui present en les dades originals.

Aquest fet és una de les raons per les quals la distribució normal és tan important en estadística i per què la trobem darrere de molts mètodes d'estimació, intervals de confiança i marges d'error.

De les dades originals a les mitjanes

Aquest és el punt clau per entendre bé el teorema central del límit: no són les dades originals les que es converteixen en una distribució normal.

Imaginem que tenim una població amb una distribució qualsevol. En traiem una mostra de, per exemple, 30 valors i en calculem la mitjana. Després repetim aquest procés moltes vegades:

• prenem una nova mostra de 30 valors;
• en calculem la mitjana;
• guardem aquest resultat;
• i tornem a començar.

Al final no tindrem una col·lecció de dades originals, sinó una nova col·lecció formada per mitjanes de mostres.

És aquesta nova distribució —la distribució de les mitjanes— la que tendeix a adoptar una forma normal.

A més, aquestes mitjanes es concentren al voltant de la mitjana real de la població. I com més gran és la mida de cada mostra, menys disperses solen ser.

Per tant, el teorema central del límit ens permet passar d'una població que pot tenir una forma complicada a una distribució de mitjanes molt més regular i previsible. Aquesta és una de les idees que fan possible bona part de l'estadística inferencial.

Un exemple amb daus

Els daus són una manera molt visual d'entendre el teorema central del límit.

Si llancem un sol dau, tots els resultats entre 1 i 6 tenen la mateixa probabilitat. La distribució és uniforme i no té, en absolut, forma de campana.

Ara canviem l'experiment. Llancem diversos daus alhora i en calculem la mitjana.

Si repetim moltes vegades aquest procés, veurem que les mitjanes properes a 3,5 apareixen molt sovint, mentre que les mitjanes molt baixes o molt altes són cada vegada menys freqüents.

Amb 2 daus, la distribució de les mitjanes ja comença a concentrar-se al centre. Amb 5 o 10 daus, la forma es fa més suau. I amb mostres encara més grans, la distribució de les mitjanes s'assembla cada vegada més a una campana de Gauss.

El més interessant és que els resultats originals continuen sent els mateixos:

1, 2, 3, 4, 5 o 6.

El que canvia és la distribució de les mitjanes de moltes mostres.

Aquest exemple mostra molt bé la idea central del teorema: podem començar amb una distribució que no és normal i acabar obtenint una distribució aproximadament normal quan estudiem les mitjanes.

Com més gran és la mostra, més clara és la campana

El teorema central del límit es fa més evident a mesura que augmenta la mida de les mostres.

Si calculem mitjanes a partir de mostres molt petites, la seva distribució encara pot conservar part de la forma de la població original. Però quan cada mostra conté més observacions, les mitjanes tendeixen a concentrar-se cada vegada més al voltant del valor real de la població.

A més, la dispersió de les mitjanes disminueix amb la mida de la mostra. Aquesta dispersió rep el nom d'error estàndard i es pot expressar com:

on σ és la desviació estàndard de la població i n és la mida de la mostra.

Això té una conseqüència molt important: si multipliquem per quatre la mida de la mostra, l'error estàndard es redueix aproximadament a la meitat.

Per tant, mostres més grans produeixen mitjanes més estables i una distribució més estreta al voltant de la mitjana real. I, al mateix temps, aquesta distribució de mitjanes tendeix a adoptar cada vegada més clarament la forma d'una campana de Gauss.

Cal recordar, però, que no existeix una mida màgica que serveixi sempre.

La coneguda regla de "30 observacions" és només orientativa: algunes distribucions necessiten menys dades i d'altres, sobretot si són molt asimètriques o tenen valors extrems, en poden necessitar moltes més.

La llei dels grans nombres i el teorema central del límit no són el mateix

La llei dels grans nombres i el teorema central del límit estan molt relacionats, però expliquen coses diferents.

La llei dels grans nombres ens diu que, quan augmentem el nombre d'observacions, la mitjana obtinguda tendeix a acostar-se a la mitjana real de la població.

Per exemple, si llancem un dau moltes vegades, la mitjana dels resultats s'anirà acostant progressivament a 3,5.

El teorema central del límit, en canvi, no se centra tant en cap a quin valor va la mitjana, sinó en com es distribueixen les mitjanes de moltes mostres.

Dit d'una manera molt simple:

• la llei dels grans nombres explica on va la mitjana;
• el teorema central del límit explica quina forma pren la distribució de les mitjanes.

Tots dos resultats ajuden a entendre per què les mostres grans són tan útils en estadística, però responen a preguntes diferents. És precisament la combinació d'aquestes dues idees la que permet fer estimacions fiables a partir d'una mostra.

Tenim un post relatius a la llei dels grans nombres: Per què les assegurances poden predir el futur

Per què és tan important en estadística?

Gràcies al fet que les mitjanes de moltes mostres tendeixen a seguir una distribució normal, podem calcular amb força precisió com d'allunyada pot estar una mitjana mostral de la mitjana real.

Això és la base de moltes eines estadístiques habituals, com ara:

• els intervals de confiança;
• els marges d'error;
• els tests d'hipòtesis;
• les estimacions de mitjanes i proporcions;
• molts mètodes de control de qualitat i d'anàlisi de dades.

Per exemple, quan una enquesta afirma que un resultat té un marge d'error de ±3 %, al darrere hi ha aquesta mateixa idea: una mostra no donarà exactament el valor real, però podem estimar com de probable és que s'hi acosti.

El teorema central del límit és, per tant, un dels ponts que permeten passar de les dades observades a conclusions sobre una població més gran. Sense aquest resultat, bona part de l'estadística inferencial seria molt més difícil d'aplicar.

Quan el teorema central del límit no funciona tan bé

El teorema central del límit és molt potent, però no s'ha d'interpretar com una regla que funcioni igual de bé en qualsevol situació.

També importa molt la forma de la distribució original. Si és relativament simètrica i no té valors extrems exagerats, la distribució de les mitjanes pot acostar-se a una normal amb mostres modestes. En canvi, si la població és molt asimètrica o presenta cues molt llargues, pot caldre una mostra molt més gran.

Per això, la regla segons la qual 30 observacions ja són suficients no és universal. És només una aproximació pràctica que pot funcionar en alguns casos i fallar en d'altres.

A més, el teorema central del límit no corregeix problemes de qualitat de les dades. Una mostra molt gran però esbiaixada continuarà produint estimacions esbiaixades.

En resum, el teorema funciona especialment bé quan les mostres són prou grans, les observacions són independents i la distribució original no presenta comportaments extrems. Fora d'aquestes condicions, cal aplicar-lo amb més prudència.

Sí. Quedaria millor així, amb els noms enllaçats directament a la Viquipèdia i mantenint les notes al peu per a les fonts històriques:

Una mica d'història

La història del teorema central del límit es remunta al segle XVIII i està estretament lligada al desenvolupament de la teoria de la probabilitat.

Un dels primers passos importants el va fer Abraham de Moivre. Cap a la dècada de 1730 va descobrir que, quan augmentava molt el nombre d'assaigs, la distribució binomial es podia aproximar mitjançant una corba que avui reconeixem com a distribució normal.¹

Més endavant, Pierre-Simon Laplace va generalitzar aquestes idees i va estudiar amb molta més profunditat el comportament de les sumes i les mitjanes de moltes variables aleatòries. Per aquest motiu, una de les primeres formes del resultat és coneguda com a teorema de De Moivre-Laplace.²

Durant el segle XIX i començaments del XX, matemàtics com Pafnuti Txebixov, Andrei Markov i Aleksandr Liapunov van establir resultats cada vegada més generals i rigorosos. Liapunov, per exemple, va publicar entre 1900 i 1901 una demostració del teorema basada en funcions característiques.³

Curiosament, l'expressió «teorema central del límit» és posterior als primers resultats matemàtics. La idea havia estat desenvolupada durant gairebé dos segles abans que el nom es consolidés al segle XX.²

És, per tant, un bon exemple de com una idea aparentment senzilla —que moltes petites influències aleatòries poden acabar produint una forma regular— va necessitar generacions de matemàtics per arribar a la formulació moderna que utilitzem avui.

Referències

• Teorema Central del Límite

Bibliografia

• David Salsburg — The Lady Tasting Tea: How Statistics Revolutionized Science in the Twentieth Century. Una història divulgativa del desenvolupament de l'estadística moderna i dels matemàtics que hi van contribuir.
• Charles Wheelan — Naked Statistics: Stripping the Dread from the Data. Introducció molt accessible als conceptes fonamentals de l'estadística, incloent-hi distribucions, mostreig i inferència.
• David Spiegelhalter — The Art of Statistics: Learning from Data. Una introducció moderna a com interpretar dades i extreure'n conclusions sense perdre de vista les limitacions dels mètodes estadístics.

Vídeos

• Khan Academy — Central limit theorem. Introducció clara al teorema central del límit i a la distribució de les mitjanes mostrals. ([Khan Academy][1])
• StatQuest — The Central Limit Theorem, Clearly Explained!!!. Explicació molt visual i intuïtiva del teorema i de la seva importància en estadística. ([YouTube][2])
• Khan Academy — Sampling distribution of the sample mean. Mostra pas a pas què passa quan repetim mostres d'una població i en representem les mitjanes. ([Khan Academy][3])

Podcasts

No hem trobat un episodi de podcast prou específic i solvent dedicat exclusivament al teorema central del límit que valgui la pena afegir només per omplir aquesta secció.