Per què les assegurances poden predir el futur
La llei dels grans nombres: quan molts casos imprevisibles acaben produint resultats sorprenentment estables
Introducció
Una companyia d'assegurances no pot saber si tindràs un accident de cotxe enguany. Tampoc pot predir si patiràs una inundació, un robatori o una avaria.
I, malgrat això, és capaç de calcular quant t'ha de cobrar perquè, al final de l'any, els números quadrin.
Com ho fa?
La resposta és una de les idees més importants de la probabilitat: la llei dels grans nombres. Un principi sorprenent que ens diu que, encara que un cas individual sigui imprevisible, quan observem milers o milions de casos l'atzar comença a comportar-se d'una manera molt més regular.
Aquesta idea és la base de les assegurances, però també apareix en l'economia, les enquestes, els casinos, la medicina o el control de qualitat.
En aquest article veurem per què com més vegades repetim un fenomen aleatori, més previsible es torna el resultat global.
Què diu la llei dels grans nombres?
La llei dels grans nombres diu que, quan repetim moltes vegades un experiment aleatori, la mitjana dels resultats tendeix a acostar-se cada vegada més al valor esperat.
Dit d'una manera més simple:
Amb poques proves, l'atzar pot fer gairebé qualsevol cosa. Amb moltes proves, els resultats tendeixen a estabilitzar-se.
Imaginem que llancem una moneda.
Sabem que la probabilitat teòrica d'obtenir cara és del 50%. Però això no vol dir que, si la llancem 10 vegades, hagin de sortir exactament 5 cares.
Podríem obtenir:
- 7 cares de 10 → 70%
- 12 cares de 20 → 60%
- 47 cares de 100 → 47%
- 5.012 cares de 10.000 → 50,12%
A mesura que augmenta el nombre de llançaments, el percentatge acostuma a apropar-se al 50%.
La llei dels grans nombres no diu que les diferències desapareguin ni que el resultat final sigui exactament el teòric. Diu que la proporció observada tendeix a acostar-s'hi cada vegada més quan el nombre de proves és molt gran.
I aquesta aparentment senzilla propietat de l'atzar és precisament el que permet que una asseguradora faci càlculs sobre milers de clients encara que sigui incapaç de predir què li passarà a cadascun d'ells.
Dues versions de la llei dels grans nombres
Quan els matemàtics parlen de la llei dels grans nombres, en realitat acostumen a distingir-ne dues versions: la llei feble i la llei forta.
Llei feble dels grans nombres
La llei feble diu, de manera simplificada, que com més observacions fem, més probable és que la mitjana obtinguda estigui molt a prop del valor esperat.
És a dir: si repetim l'experiment moltes vegades, cada cop és menys probable obtenir una mitjana molt allunyada del resultat teòric.
Llei forta dels grans nombres
La llei forta fa una afirmació encara més contundent: si continuem fent observacions indefinidament, la mitjana acabarà convergint al valor esperat amb probabilitat 1.
En llenguatge matemàtic es diu que hi convergeix gairebé segurament.
Per a un lector no especialista, la idea essencial és la mateixa en tots dos casos: quan el nombre d'observacions creix molt, la mitjana deixa de fluctuar tant i tendeix a estabilitzar-se al voltant del valor esperat.
La diferència entre la llei feble i la forta és sobretot important en matemàtiques teòriques. Per entendre les seves aplicacions en assegurances, economia o simulacions de Montecarlo, n'hi ha prou amb retenir aquesta idea d'estabilització progressiva.
On s'aplica la llei dels grans nombres?
La llei dels grans nombres no és només una curiositat matemàtica. És una de les idees que permeten prendre decisions quan hi ha incertesa, sempre que disposem d'un nombre prou gran de casos.
Assegurances
Una asseguradora no pot saber quin dels seus clients tindrà un accident. Però sí que pot estimar, a partir de milers o milions de conductors, quants accidents es produiran aproximadament durant un any.
Per exemple, si històricament un 2% dels conductors d'un determinat perfil tenen un sinistre cada any, l'asseguradora no sap quins seran, però pot esperar que entre 100.000 assegurats n'hi hagi aproximadament uns 2.000.
Això li permet calcular primes, reserves i riscos.
Casinos. La banca sempre guanya.
Un jugador pot guanyar una partida de ruleta, deu o fins i tot moltes més. Però el casino juga una partida diferent: milers de jugades cada dia.
Com que els jocs estan dissenyats amb un petit avantatge matemàtic per a la casa, com més apostes es fan, més probable és que el resultat global s'acosti a aquest avantatge.
El casino no necessita saber qui perdrà. Només necessita que jugui molta gent durant prou temps.
Control de qualitat
En una fàbrica, una màquina pot produir ocasionalment una peça defectuosa. Analitzant milers de peces es pot calcular quin és el percentatge habitual de defectes i detectar quan el procés comença a comportar-se de manera anormal.
Aquesta és una de les bases del control estadístic de qualitat.
Enquestes i estudis
Preguntar una sola persona no ens diu gaire sobre què pensa una població. Però si obtenim una mostra prou gran i ben escollida, els resultats poden aproximar-se força als de tota la població.
Aquí, però, hi ha una condició important: tenir moltes dades no serveix de res si les dades estan esbiaixades.
Medicina
Els efectes d'un tractament no es poden valorar observant un sol pacient. Una persona pot millorar, empitjorar o experimentar efectes secundaris per moltes causes.
Quan s'estudien centenars o milers de pacients, en canvi, és possible estimar amb molta més fiabilitat quin és l'efecte mitjà d'un medicament o d'un tractament.
Economia i finances
La mateixa idea apareix en multitud de càlculs econòmics: estimacions de consum, morositat, demanda, risc de crèdit o comportament de grans grups de clients.
En tots aquests casos hi trobem la mateixa idea:
El comportament d'un individu pot ser molt difícil de predir. El comportament estadístic d'un grup molt gran acostuma a ser molt més estable.
Aquesta és la força pràctica de la llei dels grans nombres: no elimina l'atzar, però permet que treballi al nostre favor.
Què té a veure amb el mètode de Montecarlo?
La llei dels grans nombres i el mètode de Montecarlo estan estretament relacionats, però no són el mateix.
La llei dels grans nombres és un principi matemàtic: ens diu que, quan repetim moltes vegades un experiment aleatori, la mitjana dels resultats tendeix a estabilitzar-se i a acostar-se al valor esperat.
El mètode de Montecarlo, en canvi, és una tècnica de càlcul que aprofita precisament aquesta propietat per resoldre problemes.
En parlem en detall en aquest post: El mètode per resoldre l'impossible
Podem resumir-ho així:
La llei dels grans nombres explica per què el mètode de Montecarlo funciona.
Hi ha, però, una diferència important.
En una asseguradora, les dades provenen de successos reals: accidents, robatoris, malalties o avaries. En una simulació de Montecarlo, en canvi, som nosaltres qui generem artificialment milers o milions de situacions aleatòries amb un ordinador.
En tots dos casos, la idea és la mateixa: una sola observació ens diu molt poc; un nombre enorme d'observacions pot revelar una regularitat molt estable.
Per això les simulacions de Montecarlo són tan útils en economia, finances, enginyeria, física o gestió de riscos: quan un problema és massa complex per calcular-lo directament, podem repetir-lo moltes vegades de forma simulada i observar quin resultat apareix, de mitjana.
Una mica d'història
La idea que els resultats aleatoris tendeixen a estabilitzar-se quan repetim moltes vegades un experiment va ser formulada matemàticament pel suís Jacob Bernoulli.
Bernoulli hi va treballar durant anys i la va incloure en la seva obra Ars Conjectandi —L'art de conjecturar—, publicada el 1713, vuit anys després de la seva mort.
Per explicar la idea podem imaginar una urna amb boles blanques i negres. Extraiem una bola a l'atzar, anotem el color, la tornem a l'urna i repetim l'operació.
Amb només deu extraccions podem obtenir resultats molt irregulars. Però, si en fem milers, la proporció de boles blanques observada tendeix a acostar-se cada vegada més a la proporció real de boles blanques que hi ha dins de l'urna.
Moltes observacions ens permeten descobrir una regularitat que amb unes poques quedaria amagada per l'atzar.
Aquest exemple també ens ajuda a entendre la relació amb el mètode de Montecarlo. La diferència és que Bernoulli estudiava què passa quan repetim moltes vegades un experiment aleatori, mentre que Montecarlo converteix aquesta mateixa idea en una eina de càlcul: simulem milers o milions d'experiments per estimar una quantitat que ens interessa.
De fet, la llei dels grans nombres és una de les raons matemàtiques que expliquen per què les simulacions de Montecarlo funcionen.
Durant els segles XIX i XX, matemàtics com Txebixev, Markov, Borel o Kolmogórov van ampliar i perfeccionar aquesta llei, que avui és una de les bases de la teoria de la probabilitat i de l'estadística.
La llei dels grans nombres aplicada a la vida professional
La llei dels grans nombres també es pot utilitzar com una manera pràctica de pensar sobre la feina, les vendes o qualsevol activitat en què els resultats depenen en part de la probabilitat.
El llibre The Law of Large Numbers: How to Make Success Inevitable, de Gary S. Goodman, parteix precisament d'aquesta idea: en lloc d'obsessionar-nos amb el resultat d'un intent concret, convé pensar en sèries llargues d'intents. Un comercial, per exemple, pot descobrir que de cada 20 contactes aconsegueix aproximadament una venda. A partir d'aquí, cada resposta negativa deixa de ser un fracàs aïllat i passa a formar part d'un procés estadístic.
Aquesta manera de pensar es pot aplicar a moltes altres situacions:
- enviar currículums o propostes comercials;
- buscar nous clients;
- provar diferents campanyes publicitàries (test A/B);
- contactar possibles inversors;
- publicar continguts;
- desenvolupar nous productes;
- experimentar amb diferents estratègies de venda.
Suposem que una empresa envia 100 propostes comercials i n'obté 5 comandes. La seva taxa de conversió és aproximadament del 5%. No podem saber quins cinc clients compraran, però sí que podem començar a estimar què passarà si mantenim un volum suficient d'activitat.
Això introdueix una idea molt útil:
No sempre podem controlar el resultat d'un intent, però sovint podem controlar quants intents fem.
A més, treballar amb un nombre elevat de casos permet una cosa encara més important: mesurar i millorar. Si canviem el missatge comercial, el preu o la manera de presentar el producte, podem comprovar si la taxa de conversió passa, per exemple, del 5% al 7%.
Però aquí cal fer una precisió. La llei dels grans nombres no diu que insistir prou garanteixi l'èxit. Si el producte és dolent, el mercat no existeix o repetim sempre una estratègia equivocada, augmentar el nombre d'intents només ens proporcionarà més dades sobre un sistema que no funciona.
Per tant, la lliçó pràctica no és simplement "fes-ho moltes vegades", sinó més aviat:
Fes prou intents per poder distingir entre la mala sort puntual i un problema real de l'estratègia.
Aquesta és probablement una de les aplicacions més interessants de la llei dels grans nombres a la vida professional: ens ajuda a no treure conclusions precipitades d'un èxit o d'un fracàs puntual i a prendre decisions basades en patrons, no en anècdotes.
Simulador en Python
En aquest breu script es pot simular perfectament la prova de llançar una moneda un determinat nombre de cops i veure'n el resultat:
import random
random.seed(7)
def coin_flip():
# This function simulates a coin flip: "H" for heads and "T" for tails.
return "H" if random.random() < 0.5 else "T"
def simulate_flips(n):
# This function simulates 'n' coin flips and returns the proportion of heads.
heads = sum(1 for _ in range(n) if coin_flip() == "H")
return heads / n
# Simulate coin flips for different numbers of flips:
for num_flips in [10, 100, 1000, 10000, 100000]:
proportion_heads = simulate_flips(num_flips)
print(f"After {num_flips} flips, the proportion of heads is: {proportion_heads:.4f}")
Simulador del càcul de l'import de sinistres d’una asseguradora
Cada sinistre pot costar molt diferent, però la despesa mitjana per assegurat es va estabilitzant quan augmenta el nombre de clients. Per aquest post és probablement l’exemple més coherent.
Quantes observacions necessitem?
La llei dels grans nombres ens diu que, en general, com més gran és la mostra, més estable és l'estimació. Però en molts problemes pràctics volem anar una mica més enllà i preguntar-nos:
Quantes observacions necessito per aconseguir una precisió determinada?
Per estimar una proporció, una fórmula molt utilitzada és:
on:
- n és la mida mínima de la mostra,
- p és la proporció esperada,
- E és el marge d'error que volem tolerar,
- z depèn del nivell de confiança.
Per a un nivell de confiança del 95%, habitualment utilitzem: z=1,96
Imaginem, per exemple, que volem estimar quin percentatge de clients acceptarà una oferta comercial amb un marge d'error de ±3 punts percentuals i un nivell de confiança del 95%.
Si no tenim cap estimació prèvia de p, utilitzem p=0,5, que és el cas més conservador:
n=1,962 · 0,5 · 0,50,032
El resultat és aproximadament:
És a dir, necessitaríem unes 1.067 observacions per estimar aquesta proporció amb un marge d'error aproximat de ±3% i un nivell de confiança del 95%.
La fórmula també ens mostra una propietat important: reduir l'error a la meitat exigeix aproximadament quadruplicar la mostra.
Per exemple:
- error ±10% → unes 96 observacions
- error ±5% → unes 385 observacions
- error ±3% → unes 1.067 observacions
- error ±1% → unes 9.604 observacions
La precisió té un preu: per obtenir resultats molt més precisos necessitem moltes més dades.
Aquesta és una de les conseqüències pràctiques més importants de treballar amb grans nombres: arriba un moment en què augmentar la precisió una mica més pot exigir multiplicar enormement el nombre d'observacions.
Curiositats
La famosa història del pes del bou
L'any 1906, el científic britànic Francis Galton va assistir a una fira ramadera a Plymouth, Anglaterra. Allà es feia un concurs en què els participants havien d'endevinar el pes d'un bou sacrificat i preparat.
Hi van participar 787 persones. Les estimacions individuals variaven força, però quan Galton les va analitzar va trobar un resultat sorprenent: la mediana de les estimacions era de 1.207 lliures, mentre que el pes real va resultar ser de 1.198 lliures. L'error era inferior a l'1%.
Aquest episodi es va fer famós com un exemple de la saviesa de les multituds: els errors d'uns participants cap amunt poden compensar els errors dels altres cap avall.
Moltes estimacions imperfectes poden produir, conjuntament, una estimació sorprenentment bona.
No és exactament una demostració de la llei dels grans nombres, però està molt relacionada amb la mateixa idea: quan agreguem moltes observacions independents, part de l'atzar tendeix a compensar-se.
Però una multitud també es pot equivocar
Hi ha una condició important. Augmentar el nombre de persones no garanteix automàticament un bon resultat.
Si tots els participants tenen el mateix prejudici, utilitzen una informació incorrecta o es deixen influir pels altres, els errors poden anar tots en la mateixa direcció. En aquest cas, tenir mil opinions pot no ser gaire millor que tenir-ne una.
El casino prefereix molts jugadors
Per a un casino, una nit en què un jugador guanya una gran quantitat de diners no és necessàriament un problema. El que li interessa és que es facin centenars de milers de jugades.
Com més jugades s'acumulen, més tendeix el resultat global a reflectir el petit avantatge matemàtic que tenen els jocs a favor de la casa.
El casino no tem l'atzar; necessita que hi hagi prou atzar perquè les matemàtiques acabin fent la seva feina.
Moltes dades no sempre són bones dades
La llei dels grans nombres pot donar una falsa sensació de seguretat. Una mostra enorme pot donar un resultat molt precís i, al mateix temps, estar completament equivocada si la manera d'obtenir les dades està esbiaixada.
Per exemple, una enquesta feta a un milió de persones no representarà necessàriament tota la població si aquestes persones provenen d'un únic grup social.
Per tant:
La quantitat redueix l'error aleatori, però no corregeix els errors sistemàtics.
Aquesta distinció és especialment important avui, en una època en què sovint associem automàticament moltes dades amb bones conclusions.
Conclusió
La llei dels grans nombres ens ensenya una idea tan simple com poderosa: allò que és difícil de predir individualment pot arribar a ser força previsible quan observem molts casos.
No podem saber qui tindrà un accident, quin client deixarà de pagar o quin número sortirà en una tirada concreta. Però quan repetim un fenomen moltes vegades, les irregularitats de l'atzar tendeixen a compensar-se i els resultats globals es tornen més estables.
Aquesta és la raó per la qual poden funcionar les assegurances, els estudis estadístics, els controls de qualitat o molts models econòmics.
La llei dels grans nombres no elimina la incertesa. Ens permet conviure-hi i prendre decisions raonables malgrat ella.
I aquesta és, probablement, una de les aplicacions més útils de les matemàtiques: no predir exactament què passarà, sinó entendre què podem esperar que passi quan mirem el conjunt.
Referències
- Jacob Bernoulli's Ars Conjectandi - Mathematical Association of America
- Vox Populi - Francis Galton, Nature (1907)
- A Tricentenary history of the Law of Large Numbers
Bibliografia
- The Law of Large Numbers: How to Make Success Inevitable
- Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit tractatus de seriebus infinitis, et epistola de ludo pilae reticularis.
Vídeos
- Law of large numbers - Khan Academy
- Lecture 29: Law of Large Numbers and Central Limit Theorem - Harvard Statistics 110
- Law of Large Numbers - Explained and Visualized
Podcast
Quan augmenta el nombre de casos observats, els resultats globals tendeixen a ser més estables i previsibles.
Segell commemoratiu suís del matemàtic Jakob Bernoulli, emès el 1994, que mostra la fórmula i el gràfic de la llei dels grans nombres, demostrada per primera vegada per Bernoulli el 1713.
L’art de conjecturar, obra pòstuma.
El volum no conté només Ars Conjectandi: també incorpora un tractat sobre sèries infinites i una carta dedicada a un joc de pilota (jeu de paume o court tennis). La primera edició de 1713 conserva precisament aquest títol complet.