Quan milions de pensions es tornen previsibles
Una aplicació econòmica del teorema central del límit a les pensions de jubilació
Introducció
Les pensions de jubilació són un dels grans temes econòmics i socials del nostre temps. També constitueixen un bon exemple per entendre una idea estadística aparentment paradoxal: un cas individual pot ser molt difícil de predir, mentre que el comportament d'un conjunt molt gran pot resultar força estable.
La pensió d'una persona depèn de molts factors: els anys cotitzats, les bases de cotització, el règim laboral, els períodes sense feina, l'edat de jubilació o els límits legals. Per això, dues persones de la mateixa edat poden percebre quantitats molt diferents.
En canvi, quan observem centenars de milers o milions de pensions, la mitjana global acostuma a variar de manera molt més gradual. Aquesta estabilitat no elimina les diferències individuals, però permet planificar la despesa agregada amb molta més precisió.
El teorema central del límit ens ajuda a entendre per què les mitjanes de grups grans són molt menys variables que els valors individuals.
De la incertesa individual a l'estabilitat col·lectiva
La distribució de les pensions individuals no té per què seguir una campana de Gauss perfecta. De fet, acostuma a presentar asimetries i concentracions en determinats imports a causa de:
- les pensions mínimes i màximes fixades legalment;
- les diferències entre règims de cotització;
- les desigualtats salarials acumulades durant la vida laboral;
- les jubilacions anticipades o demorades;
- les diferències entre trajectòries professionals.
Això significa que no podem dibuixar la distribució real de totes les pensions com una corba normal només perquè en coneixem la mitjana.
El teorema central del límit, però, parla d'una altra distribució: la de les mitjanes mostrals. Imaginem que seleccionem repetidament grups aleatoris de pensionistes de la mateixa mida i que, per a cada grup, calculem la pensió mitjana. Quan els grups són prou grans, aquestes mitjanes tendeixen a formar una distribució aproximadament normal, encara que les pensions individuals no ho siguin.
El fonament matemàtic
Considerem una població amb una mitjana μ i una desviació estàndard σ.
Imaginem que n’extraiem moltes mostres aleatòries de la mateixa mida n i que calculem la mitjana de cadascuna, Xn. Aquestes mitjanes no seran totes exactament iguals. Algunes quedaran per sobre de μ i d’altres, per sota.
El teorema central del límit estableix que, quan n augmenta, la distribució d’aquestes mitjanes mostrals s’aproxima progressivament a una distribució normal (campana de Gauss).
Aplicant-ho al tema que ens ocupa:
El teorema central del límit diu que, si seleccionem molts grups de pensionistes i calculem la pensió mitjana de cada grup, no obtindrem exactament el mateix resultat en tots els casos.
Ara bé, com més pensionistes contingui cada grup, més probable serà que les mitjanes obtingudes quedin a prop de la mitjana real. Si representem totes aquestes mitjanes en un gràfic, veurem que la majoria es concentren al centre i que cada vegada n’hi ha menys a mesura que ens n’allunyem. D’aquesta manera apareix progressivament la característica forma de la campana de Gauss.
Per expressar-ho matemàticament, primer convertim la mitjana mostral en una variable estandarditzada que anomenarem Zn:
Zn= Xn-μσ/√n
Aquesta expressió mesura a quants errors estàndard es troba la mitjana d’una mostra respecte de la mitjana real de la població.
Per exemple:
- Zn=0 significa que la mitjana mostral coincideix amb la mitjana de la població
- Zn=1 significa que queda un error estàndard per sobre
- Zn=-1 significa que queda un error estàndard per sota
- Zn=2 significa que queda dos errors estàndard per sobre
Un cop definida Zn, el teorema central del límit es pot expressar així:
En aquesta fórmula, z és un valor de referència qualsevol. La lletra z no representa la variable Zn, sinó el punt fins al qual volem calcular la probabilitat.
Per exemple, podem preguntar-nos quina probabilitat hi ha que Zn sigui igual o inferior a 1,96:
P(Zn≤1,96)
La funció Φ(z) indica la probabilitat acumulada d’una distribució normal estàndard fins al valor z.
Per exemple:
Φ(1,96)≈0,975
Això significa que aproximadament el 97,5 % dels valors d’una distribució normal estàndard queden per sota de 1,96.
Quan treballem amb una mostra concreta, el resultat obtingut rep el nom de valor z observat i el podem representar com zobs:
zobs= x-μσ/√n
Aquí, x és la mitjana que hem obtingut en una mostra concreta. En canvi, Xn representa totes les possibles mitjanes que podríem obtenir amb mostres de mida n.
La quantitat que determina la dispersió de les mitjanes mostrals és l’error estàndard:
On:
- μ és la mitjana de la població
- σ és la desviació estàndard de les observacions individuals
- n és el nombre d’observacions independents de cada mostra
- Xn representa les possibles mitjanes calculades a partir de mostres de mida n
- x és la mitjana obtinguda en una mostra concreta
- Zn és la variable que indica a quants errors estàndard es troben les mitjanes mostrals de μ
- z és el valor de referència fins al qual calculem la probabilitat
- zobs és el valor estandarditzat obtingut en una mostra concreta
- SE és l’error estàndard de la mitjana
- Φ(z) és la funció de distribució acumulada de la normal estàndard N(0,1)
A mesura que n augmenta, l’error estàndard disminueix:
Això no significa que les pensions individuals es tornin més semblants. Significa que les mitjanes calculades sobre grups grans tendeixen a quedar cada vegada més concentrades al voltant de la mitjana real de la població.
Com que n apareix dins d’una arrel quadrada, multiplicar per quatre la mida de la mostra redueix l’error estàndard a la meitat. Per reduir-lo a una desena part, cal multiplicar la mostra per cent.
Un exemple numèric amb pensions catalanes
Utilitzarem com a exemple didàctic una pensió mitjana de jubilació de 1.606,38 € mensuals i una desviació estàndard individual estimada de 420 €. Aquesta desviació no s'ha de confondre amb una dada oficial publicada: és una hipòtesi de treball que ens permet veure com actua la fórmula.
| Pensionistes de cada mostra (n) | Error estàndard estimat | Interval aproximat del 95 % per a la mitjana mostral |
|---|---|---|
| 1 | 420,00 € | No és adequat interpretar-lo com un interval normal sense conèixer la distribució individual |
| 5 | 187,83 € | 1.238,24–1.974,52 € |
| 42 | 64,81 € | 1.479,35–1.733,41 € |
| 100 | 42,00 € | 1.524,06–1.688,70 € |
| 1.000 | 13,28 € | 1.580,35–1.632,41 € |
Els intervals de la taula s'han calculat, de manera aproximada, com:
X ± 1,96σ√n
L'exemple mostra que no és la pensió de cada individu la que es torna menys variable. El que es concentra és la mitjana calculada sobre grups cada vegada més grans.
Una mostra de 42 pensionistes no és el mateix que les 42 comarques de Catalunya. Per tractar les comarques com 42 observacions equivalents caldria definir què mesura cada observació, ponderar-les segons la seva població i tenir en compte que les seves característiques no són idèntiques ni necessàriament independents.
Espanya i Catalunya: dues poblacions diferents
En les dades de referència utilitzades per preparar aquest exemple, la pensió mitjana de jubilació se situa aproximadament en:
- Espanya: 1.572 € mensuals i uns 6,6 milions de pensions de jubilació;
- Catalunya: 1.606,38 € mensuals i uns 1,21 milions de pensions de jubilació.
Aquestes xifres serveixen per situar l'ordre de magnitud, però cal associar sempre qualsevol dada de pensions a un mes i un any concrets, perquè el nombre de prestacions i la seva quantia mitjana canvien amb les altes, les baixes i les revaloracions.
També cal evitar una confusió habitual: la diferència entre les dues mitjanes no és un efecte del teorema central del límit. Catalunya i el conjunt d'Espanya tenen composicions laborals, salarials i demogràfiques diferents. El teorema explica la forma i la variabilitat de les mitjanes mostrals, però no explica per si sol per què una població té una mitjana superior a una altra.
Com cal llegir el gràfic
L'eix horitzontal representa imports mensuals de pensió. L'eix vertical mostra una densitat de probabilitat, no pas el nombre directe de pensionistes.
En una variable contínua, l'alçada de la corba en un punt no és una probabilitat per si sola. La probabilitat correspon a l'àrea sota la corba entre dos imports. L'àrea total sota cada corba és igual a 1, és a dir, al 100 %.
Una corba més estreta indica menys variabilitat; una corba més ampla, més dispersió. Ara bé, en una aplicació rigorosa del teorema central del límit, les corbes haurien de representar distribucions de mitjanes obtingudes amb mostres d'una mida ben definida, no simplement dues poblacions territorials de mides diferents.
Per tant, el banner s'ha d'interpretar com una il·lustració conceptual. Les línies verticals assenyalen les mitjanes de referència, mentre que l'estrenyiment de les corbes simbolitza la reducció de l'error estàndard quan augmenta n.
Teorema central del límit i llei dels grans nombres
Els dos resultats estan relacionats, però no diuen exactament el mateix.
La llei dels grans nombres afirma que, a mesura que augmenta la mida de la mostra, la mitjana observada tendeix a acostar-se a la mitjana real de la població.
El teorema central del límit descriu com es distribueixen les mitjanes de moltes mostres: sota unes condicions determinades, la seva distribució s'aproxima a una normal i la seva dispersió disminueix segons σ/√n.
Dit de manera breu:
- la llei dels grans nombres explica la convergència de la mitjana;
- el teorema central del límit explica la distribució de l'error al voltant d'aquesta mitjana.
Per què això és útil en economia?
Les administracions no necessiten predir la pensió exacta de cada futur jubilat per preparar un pressupost agregat. Necessiten estimar quantes persones cobraran una prestació, quina serà la quantia mitjana i com evolucionaran variables com els salaris, la inflació, les altes o la mortalitat.
Quan es treballa amb col·lectius molt grans, les fluctuacions individuals tendeixen a compensar-se parcialment. Això facilita:
- estimar la nòmina mensual de pensions;
- calcular escenaris pressupostaris;
- comparar territoris o règims de cotització;
- construir intervals d'incertesa;
- detectar canvis que s'allunyen del comportament esperat.
Tanmateix, una mostra gran no protegeix contra tots els errors. Un canvi legal, una crisi econòmica, un biaix en les dades o una dependència forta entre observacions poden invalidar les hipòtesis del model.
Moltes dades redueixen l'atzar, però no corregeixen un mal model.
La mitjana no explica tota la realitat
La pensió mitjana és útil per resumir milions de prestacions en una sola xifra, però pot ocultar grans diferències. El juny de 2026, un 36 % de les pensions de jubilació no arribaven als 1.000 € mensuals —calculats en 14 pagues—, i el tram més nombrós era el situat entre 500 i 1.000 €. Al mateix temps, un 12 % superava els 3.000 €. Aquesta distribució desigual i limitada per imports mínims i màxims no forma una campana de Gauss perfecta. El teorema central del límit no afirma que les pensions individuals segueixin una distribució normal, sinó que les mitjanes obtingudes de mostres prou grans tendeixen a aproximar-s’hi.
Conclusions
Les pensions mostren amb claredat la diferència entre el món individual i el col·lectiu. L'import que cobrarà una persona pot ser difícil de predir, però la mitjana d'un grup gran és molt més estable.
El teorema central del límit explica aquesta estabilitat: les mitjanes de mostres grans tendeixen a concentrar-se al voltant de la mitjana de la població i el seu error estàndard disminueix segons l'arrel quadrada de la mida de la mostra.
La lliçó econòmica és poderosa: la incertesa individual no desapareix, però una part important d'aquesta incertesa es compensa quan observem milions de casos conjuntament.
Referències
- Seguretat Social — Pensions contributives en vigor
- Idescat — Pensions i altres prestacions socials
- NIST/SEMATECH — Central Limit Theorem
- La Caixa. ¿Cuáles son las pensiones mínimas y máximas en 2026?
- La pensión media del sistema de Seguridad Social se sitúa en 1.363,4 euros al mes en enero, un 4,5% más alta que hace un año
- El mapa de las pensiones, municipio a municipio: ¿cuánto cobran tus vecinos por su jubilación?
Per continuar llegint
Videos
Les pensions individuals poden variar considerablement, però les mitjanes de grups grans són molt més estables i previsibles gràcies al teorema central del límit.