El problema que va resistir més de 350 anys: el Teorema de Fermat
Una equació molt senzilla, una nota escrita al marge i una demostració extraordinàriament complexa
Introducció
La història de l'últim teorema de Fermat comença amb una nota escrita al marge d'un llibre. Aquella breu anotació va donar origen a un misteri que encara avui no s'ha aclarit del tot: Pierre de Fermat tenia realment una demostració del teorema que porta el seu nom?
La majoria d'historiadors de les matemàtiques consideren poc probable que Fermat disposés d'una demostració general correcta. Tanmateix, no podem saber amb certesa què havia descobert.
Per entendre el darrer teorema de Fermat, hem de començar recordant el teorema de Pitàgores:
a2 + b2 = c2
Aquesta equació té moltes solucions enteres. Per exemple:
32 + 42 = 52
Però què passa si substituïm els quadrats per cubs?
a3 + b3 = c3
O bé, de manera general:
Fermat va afirmar que, quan n>2, aquesta equació no té cap solució formada per nombres enters positius.
Aquesta conjectura va ser, fins el 1994, la que ha generat, quasi sens dubte, més intents de demostració que no pas d'altra.
La famosa nota escrita al marge
Explicaríem que, cap al 1637, Pierre de Fermat va escriure al marge d'un exemplar de l'Arithmetica de Diofant que havia trobat una demostració meravellosa, però que el marge era massa estret per contenir-la.
És impossible que un cub sigui la suma de dos cubs, que una potència quarta sigui la suma de dues potències quartes i, en general, que qualsevol nombre que sigui una potència superior a dos sigui la suma de dues potències del mateix valor. He descobert una demostració veritablement meravellosa d'aquesta proposició, però aquest marge és massa estret perquè hi càpiga.
Aquesta afirmació és l'origen del misteri. Actualment, la majoria d'historiadors de les matemàtiques consideren improbable que Fermat disposés d'una demostració general correcta.
El text original diu en llatí:
Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
De conjectura a teorema
Durant més de tres segles, l'afirmació de Fermat va ser, en sentit estricte, una conjectura: tots els casos estudiats semblaven confirmar-la, però ningú no havia aconseguit demostrar que fos certa per a tots els exponents.
Malgrat això, tradicionalment ja era coneguda com l'últim teorema de Fermat. La paraula últim no indica que fos el darrer resultat formulat pel matemàtic, sinó que va ser l'última de les seves grans afirmacions que encara quedava per demostrar.
Quan Andrew Wiles, amb la col·laboració de Richard Taylor, va completar la demostració el 1994, aquella conjectura es va convertir finalment en un teorema en el sentit matemàtic estricte.
Les primeres demostracions de casos particulars
Des de l'època de Fermat, el teorema va donar lloc a nombroses investigacions matemàtiques i al desenvolupament de procediments completament nous.
La demostració no es va aconseguir de cop. Durant més de tres segles, diferents matemàtics van anar resolent casos particulars de l'equació:
- Pierre de Fermat va demostrar el cas n=4 mitjançant el mètode del descens infinit.
- Leonhard Euler va estudiar el cas n=3 durant el segle XVIII i en va establir la demostració, tot i que alguns detalls van haver de ser completats posteriorment.
- Sophie Germain, a començaments del segle XIX, va desenvolupar un mètode que permetia demostrar una part important del teorema per a moltes famílies de nombres primers.
- Adrien-Marie Legendre i Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet van demostrar el cas n=5 l'any 1825.
- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet va publicar el 1832 una demostració per al cas n=14.
- Gabriel Lamé va demostrar el cas n=7 l'any 1839.
- Ernst Kummer va fer un gran pas endavant a mitjan segle XIX. Mitjançant els nombres ideals, va demostrar el teorema per a una extensa família d'exponents primers, coneguts com a primers regulars.
Cada demostració resolia una part del problema, però no existia cap procediment que servís per a tots els exponents possibles. A més, els arguments es feien cada vegada més complicats a mesura que augmentava el valor de n.
L'escriptor i divulgador matemàtic Amir D. Aczel va descriure així la fascinació provocada pel problema:
El teorema es va convertir en el misteri matemàtic més desconcertant. Senzill, elegant i impossible de demostrar, almenys en aparença, l'últim teorema de Fermat va captivar la imaginació de matemàtics aficionats i professionals durant més de tres segles. Per a alguns, es va convertir en una passió meravellosa. Per a altres, en una obsessió que els va conduir a l'engany, la intriga o la bogeria.
Aquests avenços no van proporcionar la demostració general, però van impulsar la creació de noves eines i noves branques de les matemàtiques. Finalment, la solució no arribaria estudiant els exponents un per un, sinó mitjançant una connexió inesperada amb les corbes el·líptiques i les formes modulars.
Una connexió completament inesperada
A mitjan segle XX va aparèixer la conjectura de Taniyama-Shimura, actualment coneguda com a teorema de la modularitat.
Aquesta conjectura relacionava dos objectes matemàtics aparentment molt diferents:
- les corbes el·líptiques
- les formes modulars
Són com dues maneres molt diferents de descriure estructures numèriques.
Era com descobrir que dues llengües matemàtiques completament diferents explicaven, en realitat, la mateixa història.
La corba de Frey
El matemàtic Gerhard Frey va observar que, si existís una solució de l'equació de Fermat, es podria construir a partir seu una corba el·líptica extraordinàriament estranya:
y2 = x(x - an)(x + bn)
Aquesta construcció permetia convertir una hipotètica solució de Fermat en un altre objecte matemàtic.
La idea essencial era:
- Suposem que existeix una solució de Fermat.
- Amb aquesta solució construïm una corba de Frey.
- Aquesta corba hauria de tenir unes propietats incompatibles entre si.
La peça aportada per Kenneth Ribet
El 1986, Kenneth Ribet va demostrar que, si existís una solució de Fermat, la corba de Frey associada no podria ser modular.
Per tant:
Si totes les corbes el·líptiques semiestables fossin modulars, l'últim teorema de Fermat quedaria automàticament demostrat.
Aquest va ser el pont que va transformar el problema. Wiles ja no havia d'atacar directament l'equació de Fermat: havia de demostrar una part de la conjectura de modularitat.
Els set anys de treball d'Andrew Wiles
Andrew Wiles havia conegut el problema quan era un nen. El 1986 va comprendre que els treballs de Frey i Ribet obrien una possible via per resoldre'l.
Durant aproximadament set anys hi va treballar gairebé en secret. El juny de 1993 va anunciar la demostració en una sèrie de conferències a Cambridge.
Però, durant la revisió, es va descobrir una escletxa en una part essencial de l'argument.
L'error i la reparació
Wiles va intentar corregir l'error durant mesos. Finalment, el setembre de 1994, mentre revisava una idea anterior, va trobar la manera de combinar dos mètodes que per separat no funcionaven.
Amb la col·laboració de Richard L. Taylor va completar la reparació. La demostració definitiva es va publicar el 1995 en dos articles als Annals of Mathematics. L'article principal de Wiles ocupa més de cent pàgines:
Com es va demostrar, en poques paraules?
El nucli lògic es pot resumir així:
- Suposem que l'equació de Fermat té una solució.
- Aquesta solució permet construir una corba de Frey.
- Ribet havia demostrat que aquesta corba no podria ser modular.
- Wiles i Taylor van demostrar que totes les corbes el·líptiques semiestables són modulars.
- La corba de Frey hauria de ser modular i no modular al mateix temps.
- Això és una contradicció.
- Per tant, la solució inicial no pot existir.
Aquesta és una demostració per reducció a l'absurd.
Fermat podia tenir aquesta demostració?
Pràcticament segur que no.
La demostració moderna utilitza conceptes que no existien al segle XVII: corbes el·líptiques, formes modulars, representacions de Galois i àlgebres de Hecke.
Fermat probablement havia trobat una demostració d'algun cas particular ,possiblement el cas n=4, i va creure erròniament que podia generalitzar-la.
Una falsa solució a Els Simpson
A l'episodi The Wizard of Evergreen Terrace d'Els Simpson, emès l'any 1998, Homer escriu a la pissarra aquesta aparent solució de l'últim teorema de Fermat:
398712+436512=447212
Si introduïm l'operació en una calculadora convencional, la igualtat pot semblar correcta. Tots dos costats produeixen un nombre de 44 xifres i les primeres xifres coincideixen. Tanmateix, si fem el càlcul amb precisió suficient, obtenim:
398712+436512 = 63976656349698612616236230953154487896987106
mentre que:
447212 = 63976656348486725806862358322168575784124416
Els dos resultats són molt semblants, però no són iguals. La calculadora arrodoneix les últimes xifres i crea la il·lusió que Homer ha trobat una solució que contradiu el teorema.
No és una contra-demostració, sinó una broma matemàtica basada en els límits de precisió de calculadores.
Què va representar la demostració?
La demostració de l'últim teorema de Fermat va significar molt més que resoldre un problema pendent durant més de 350 anys. Andrew Wiles va aconseguir establir una connexió profunda entre les corbes el·líptiques i les formes modulars, dues àrees de les matemàtiques que fins aleshores semblaven molt allunyades.
El seu treball va confirmar una part important de la conjectura de Taniyama-Shimura, actualment coneguda com a teorema de modularitat, i va proporcionar noves eines per estudiar altres problemes de teoria de nombres.
La importància de la demostració no rau únicament a haver resolt l'enigma de Fermat, sinó també en els nous camins que va obrir dins les matemàtiques modernes.
Conclusió
L'últim teorema de Fermat és famós perquè el seu enunciat pot ser entès per un estudiant, mentre que la seva demostració es troba entre les construccions més profundes de la matemàtica moderna.
Andrew Wiles no va demostrar el teorema manipulant directament l'equació de Fermat. El va resoldre demostrant una connexió molt més general entre dues branques de les matemàtiques.
La gran lliçó d'aquesta història és que alguns problemes no es resolen atacant-los directament. De vegades cal construir tot un nou llenguatge abans de poder entendre per què la resposta és certa.
Referencies
- MacTutor – Història de l'últim teorema de Fermat
- Biografia d'Andrew Wiles
- Article original d'Andrew Wiles
- Article complementari de Taylor i Wiles
- American Mathematical Society – Explicació de Kenneth Ribet
- El enigma del teorema de Fermat
- Fermat's Last Theorem
- Tables of Fermat "near-misses"
Videos
- El Problema IMPOSIBLE que se Resolvió 350 AÑOS Después
- La conjetura de Fermat
- Qué es el último teorema de Fermat y por qué los matemáticos demoraron 3 siglos en resolverlo
- The Man Who Solved the World's Most Famous Math Problem
- Horizonte Científicos: El Último Teorema de Fermat - Documental (1996)
- El Enigma Matemático que Tardó 350 Años en Resolverse!
- El teorema de Fermat y Los Simpson
Bibliografia
- Singh, Simon. L'enigma de Fermat: la història d'un teorema que ha desconcertat els més grans savis durant 358 anys. Barcelona: Edicions 62, 1998. ISBN 84-297-4384-7.
- Aczel, Amir D. El último teorema de Fermat: el secreto de un antiguo problema matemático. Fondo de Cultura Económica, 2017. ISBN 978-607-16-5107-5.
- Ribenboim, Paulo. Fermat's Last Theorem for Amateurs. Nova York: Springer, 1999. ISBN 978-0-387-98508-4.
- Edwards, Harold M. Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Nova York: Springer, 1977. ISBN 978-0-387-90230-2.
- Singh, Simon. Los Simpson y las matemáticas. Barcelona: Editorial Ariel, 2024. ISBN 978-84-344-3811-8.
Podcasts
Pierre de Fermat va afirmar que l’equació an+bn=cn no té solucions enteres positives quan n>2. El problema va resistir durant més de 350 anys, fins que Andrew Wiles el va demostrar relacionant les corbes el·líptiques amb les formes modulars.
Segell emès l’any 2000 per la República Txeca amb motiu de l’Any Mundial de les Matemàtiques. La franja vermella amb el nom d’Andrew Wiles i l’any 1995 separa els dos costats de l’equació de Fermat i simbolitza la demostració definitiva del teorema.